专题08 数列（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题08 数列 易错点一：混淆数列与函数的区别（数列求最值问题） 1、等差数列的定义 （1）文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数； （2）符号语言：(，为常数)． 2、等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项． 3、通项公式与前n项和公式 （1）通项公式：． （2）前项和公式：． （3）等差数列与函数的关系 ①通项公式：当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差.若公差，则为递增数列，若公差，则为递减数列． ②前n项和：当公差时，是关于的二次函数且常数项为0. 已知数列是等差数列，是其前项和． 1、等差数列通项公式的性质： （1）通项公式的推广：． （2）若，则． （3）若的公差为d，则也是等差数列，公差为． （4）若是等差数列，则也是等差数列． 2、等差数列前项和的性质 （1）； （2）； （3）两个等差数列，的前n项和，之间的关系为. （4）数列，，，…构成等差数列． 3、关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质 （1）若项数为，则，； （2）若项数为，则，，，. 最值问题：解决此类问题有两种思路： 一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值； 二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可 易错提醒：数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时有时可以利用函数的性质，但是在利用函数单调性求解数列问题，要注意的取值不是连续实数，忽略这一点很容易出错. 例 ．已知等差数列的前n项和为，且，，求取得最大值时对应的n值. 变式1．数列是等差数列，，． (1)从第几项开始有？ (2)求此数列的前项和的最大值． 变式2．记为等差数列的前n项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求的最小值． 变式3．等差数列，，公差． (1)求通项公式和前项和公式； (2)当取何值时，前项和最大，最大值是多少． 1．已知数列是等差数列，若，，且数列的前项和，有最大值，当时，的最大值为（    ） A．20 B．17 C．19 D．21 2．已知等差数列的前n项和为， ，且，则取得最小值时n的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知数列中，若其前n项和为Sn，则Sn的最大值为（    ） A．15 B．750 C． D． 4．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是（    ） A．2021 B．2022 C．4042 D．4043 5．设是等差数列，是其前n项和，且， ，则下列结论正确的是（     ）. A． B． C． D．与均为的最大值 6．设等差数列的前项和为，公差为．已知，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．设的前项和为，则时，的最大值为27 7．已知数列的前项和满足，则下列说法正确的是（    ） A．是为等差数列的充要条件 B．可能为等比数列 C．若，，则为递增数列 D．若，则中，，最大 8．已知数列的前n项和，则下列结论正确的是（    ） A．是等差数列 B． C． D．有最大值 9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时， D．当或4时，取得最大值 10．等比数列中，，则数列的前项和的最大值为 ． 11．记等差数列的前n项和为，若，，则当取得最大值时，n＝ ． 易错点二：忽视两个“中项”的区别（等比数列利用中项求其它） 1、等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。 数学语言表达式： (，为非零常数)． 2、等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中. 注意：同号的两个数才有等比中项。 3、通项公式及前n项和公式 （1）通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为； 通项公式的推广：. （2）等比数列的前项和公式：当时，；当时，. 已知是等比数列，是数列的前项和．（等比中项） 1、等比数列的基本性质 （1）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为. （2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列． （3）若，则有 口诀：角标和相等，项的积也相等 推广： （4）若是等比数列，且，则（且）是以为首项，为公差的等差数列。 （5）若是等比数列，，则构成公比为的等比数列。 易错提醒：若成等比数列，则为和的等比中项。只有同号的两数才有等比中