福建省莆田第四中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

莆田四中 2023-2024学年高二上学期期中考试 数学试卷 一、选择题：本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分,在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目 要求的。 1.在空问直角坐标系� − ���中,点�(2,2,4)与点�(− 2,− 2,4)( ) A.关于原点对称 B.关于�轴对称 C.关于�轴对称 D.关于�轴对称 2.已知直线�的一个方向向量为(2,− 1),且经过点�(1,0),则直线的方程为( ) A.� − � − 1 = 0 B.� + � − 1 = 0 C.� − 2� − 1 = 0 D.� + 2� − 1 = 0 3.方程(� + 2� − 1) �2 + �2 − 2� + 2 = 0表示的曲线是( ) A.一条直钱 B.一个圆和一条射线 C.一个圆 D.一个圆和一条直线 4.已知椭圆 C:� 2 �2 + � 2 4 = 1的一个焦点为(2,0),则椭圆�的离心率为( ) A.1 3 B.1 2 C. 2 2 D.1 5.若直线� − � + 1 = 0与圆�2 + �2 − 2� + 1 − � = 0相切,则�等于( ) A.2 B.1 C. 2 D.4 6.若直线�� − � + 2� − 1 = 0恒过点�,点�也在直线�� + �� + 2 = 0上,其中�,�均为正数,则��的最大值 为( ) A.1 4 B.1 2 C.1 D.2 7.在△���中,已知�(1,1),�(− 3,− 5),若直线�: 2� + � + 6 = 0为∠���的平分线,则直线��的方程为( ) A.� − 2� + 1 = 0 B.6� + 7� − 13 = 0 C.2� + 3� − 5 = 0 D.� = 1 8.在我国古代的数学名著《九章算术》中,斩堵指底面为直角三角形,且侧棱垂直 于底面的三棱柱,鳖臑指的是四个面均为直角三角形的三棱雉.如图,在斩堵��� − �1�1�1中,∠��� = 90∘,�� = 2,��1 = 4,当鳖臑�1 − ���的体积最大时,直线�1�与 平面���1�1所成角的正弦值为( ) A. 34 6 B.3 10 10 C. 2 6 D. 10 10 二.多选题:本题共 4小题,每小题 5分,共 20.分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部 选对的得 5分,部分选对的很 2分,有选错的得 0分. 9.已知平面�内有一点�(1,− 1,1),平面�的一个法向量为� = (4,− 1,0).则下列点中不在平面�内的是( ) A.�(2,3,2) B.�(− 2,0,1) C.�(− 4,4,0) D.�(3,− 3,4) 10.下列说法正确的有( ) A.若�� > 0，则直线�：�� + �� − 2 = 0的斜率小于 0 B.过点(2,− 1)且斜率为− 3的直线的点斜式方程为� + 1 =− 3(� − 2) C.斜率为-2,在�轴上的截距为 3的直线方程为� =− 2� ± 3 D.经过点(1,1)且在�轴和�轴上截距相等的直线方程为� + � − 2 = 0 如图,已知四棱锥� − ����的底面����是直角梯形,��//��,�� = 4,∠��� = 90∘,�� ⊥平面 ����,�� = �� = �� = 2,下列说法正确的是( ) A.��与��所成的角是30∘ B.平面���与平面���所成的锐二面角余弦值是 6 3 C.三棱雉� − ���的体积是8 3 D.��与平面���所成的角的正弦值是 3 6 小明同学在完成教材椭圆和双曲线的相关内容学习后,提出了新的疑问:平面上到两个定点距离之积为常 数的点的轨迹是什么呢?又具备哪些性质呢?老师特别赞赏他的探究精神,并告诉他这正是历史上法国天文 学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的,这类曲线被称为“卡西尼卵形线”.在老师的鼓励下, 小明决定先从特殊情况开始研究,假设�1(− 1,0)、�2(1,0)是平面直角坐标系���内的两个定点,满足 ��1 ⋅ ��2 = 2的动点�的轨迹为曲线�,从而得到以下 4个结论，其中正确结论的为( ) A. 曲线�既是轴对称图形,又是中心对称图形 B. 动点�的横坐标的取值范围是[− 3, 3] C. |��|的取值范围是[1,2] D. △ ��1�2的面积的最大值为 1 三.填空题,本题共 4小题,每小题 5分,共 20分. 13.已知向量� = (1,− 2,3), � = (� − 1,3− �,− 6),若� ∥ � ,则实数� =______. 14.已知直线�:�� + (2� − 1)� + � − 3 = 0,当参数�变化时,直线�恒过定点,则该定点坐标为______. 15.如图,在平