上海外国语大学附属浦东外国语学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷

浦东外国语附属中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题一共12题，共36分） 1．已知2，a，成等差数列，则a的值为__________． 2．已知向量，，，则为__________． 3．在等比数列中，若，，则__________． 4．已知圆柱的高为2，体积为，则该圆柱的全面积为__________． 5．等比数列的n前项和为，若，，则__________． 6．已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则__________． 7．已知是空间不共面的一组向量，是空间不共面的另一组向量，若向量在下的坐标为，则向量在下的坐标是______． 8．古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点（或圆球）在等距的排列下可以形成三角形数，如1，3，6，10，15．我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”垛（如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球）．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛第10层球的个数为__________． 9．如图所示（单位：cm），直角梯形挖去半径为2的四分之一圆，则图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为__________． 10．在等差数列中，若，则有成立．类比上述性质，相应地，在等比数列中，若，则有等式__________成立． 11．设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则满足题意的所有数对为__________． 12．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，给出下列结论： ①当时，的周长为定值； ②当时，三棱锥的体积为定值； ③当时，有且仅有一个点P，使得； ④若，则点P的轨迹所围成的面积为．其中正确的结论是__________． 二、选择题（本大题一共4题，共12分） 13．已知直线m，n，平面，则“，”是“”的（ ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．不充分不必要 14．设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形的周长，则“数列为等差数列”的充要条件是（ ）． A．是等差数列 B．，，…，，…或，，…，，…是等差数列 C．，，…，，…和，，…，，…都是等差数列 D．，，…，，…和，，…，，…都是等差数列，且公差相同 15．如图，该几何体为两个底面半径为1，高为1的相同的圆锥形成的组合体，设它的体积为，它的内切球的体积为，则（ ）． A． B． C． D． 16．若数列满足，则下列说法错误的是（ ）． A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 D．存在数列使得对任意正整数p，q都满足 三、解答题（本大题一共5题，共52分） 17．如图，在棱长为2的正方体中． （1）求异面直线和所成角的大小； （2）求二面角的大小． 18．去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理．预计每年生活垃圾的总量递增5％，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨．为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量．（精确到0.1万吨） 19．已知数列的前n项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）若数列，求的前n项和． 20．在中，，，，D、E分别是、上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，M是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面与平面垂直？若存在，求出与的比值；若不存在，请说明理由． 21．已知x轴上的点，，…，满足，射线上的点，，…，满足，，． （1）证明：是等比数列； （2）用n表示点和点的坐标； （3）求四边形的面积的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.3; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.②④. 11．设、、…、是各项不为零的等差数列，，且公差，若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则满足题意的所有数对为_______． 【答案】 【解析】设数列的公差为, 则各项分别为:,,且, 假设去掉第一项,则有,解得,不合题意; 去掉第二项,有,化简得:即,解得, 因为数列的各项不为零,所以数列不会出现第五项,所以数; 去掉第三项,有,化简得:即,解得 则此数列为:此数列仍然不会出现第五项,因为出现第五项,数列不为等比数列,所以数对 去掉第四项时,有,化简得:,不合题