上海外国语大学附属浦东外国语学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

上外附中2023学年度第一学期期中高一年级数学卷 2023.11 一、填空题(每小题3分,共36分) 1.方程组的解集是_. 2.已知全集,集合,,则_. 3.已知关于x的不等式的解集为,则_. 4.用反证法证明命题“已知x、,且,求证:或”时,应首先假设“_”. 5.若,则x的取值范围是_. 6.若,且,则_. 7.已知,,若是的必要非充分条件,则实数m的取值范围是_. 8.关于x的不等式的解集为R,则实数a的取值范围是_. 9.已知集合.若,则实数的取值范围是_. 10.若不等式的解集为,则关于x的不等式的解集为_. 11.设集合,,且M、N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的“长度”的最小值是_. 12.若关于x的不等式有且只有一个整数解,则实数k的取值范围是_. 二、选择题(每小题3分,共12分) 13.已知,将表示成有理指数幂,其结果是( ) A. B. C. D. 14.已知,则下列不等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 15.若一元二次不等式,的解集分别为M、N,、、、、、均不为0,M、N既不是R也不是.则“”是“”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 16.《九章算术》中“勾股容方”问题:“今有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:如图(1),用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形,每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组,得到如图(2)所示的矩形,该矩形长为,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论,如图(3),设D为斜边的中点,作直角三角形的内接正方形的对角线,过点A作于点F,下列推理正确的是( ) A.由题图(1)和题图(2)面积相等得 B.由可得 C.由可得 D.由可得 三、解答题(本大题共有5题,满分52分)【解答下列各题必须写出必要的步骤】 17.(本题满分8分)已知关于x的方程有两个实数根,,若,求实数m的值. 18.(本题满分8分)命题甲:集合为空集;命题乙:关于x的 不等式的解集为R.若命题甲、乙都是真命题,求实数k的取值范围. 19.(本题满分10分,第1小题满分4分,第2小题满分6分)某企业为响应国家节水号召,决定对污水进行净化再利用,以降低自来水的使用量.经测算,企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位:万元)与设备的占地面积x(单位:平方米)成正比,比例系数为0.2.预计安装后该企业每年用缴纳的水费C(单位:万元)与设备占地面积之间的函数关系为.将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为y(单位:万元). (1)要使y不超过7.2万元,求设备占地面积x的取值范; (2)设备占地面积x为多少时,y的值最小?最小值是多少? 20.(本题满分12分,第1小题满分6分,第2小题满分6分)已知集合, ,. (1)若,求实数a的取值范围: (2)若,求实数b的取值范围. 21.(本题满分14分,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分6分) 问题:正数a,b满足,求的最小值.其中一种解法是:,当且仅当且时,即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题: (1)若正实数x,y满足,求的最小值; (2)若实数a,b,x,y满足,试比较和的大小,并指明等号成立的条件; (3)利用(2)的结论,求代数式的最小值,并求出使得M最小的m的值. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.; 12.; 11.设集合,,且M、N都是集合的子集,如果把叫做集合的“长度”,那么集合的“长度”的最小值是_. 【答案】 【解析】由集合,其长度为; 集合得长度为, 而集合的长度为,因为集合与集合都是的子集,则欲使长度最短,则须,此时区间的最短长度为 12.若关于x的不等式有且只有一个整数解,则实数k的取值范围是_. 【答案】 【解析】显然,时,不满足条件. 故,关于的不等式,即. 当时,不等式即, 它的解集为,不满足条件. 当时,不等式即. 由于此时,故它的解集为,, ,即,求得,或, 则实数的取值范围,故答案为:. 二、选择题 13.; 14.; 15.B; 16.D 三、解答题 17. 18. 19.(1) (2)当设备占地面积为时,的值最小,最小值为 20.(1) (2)或 21.(1) (2),当时,等号成立. (3)的最小值为, 20.已知集合, ,. (1)若,求实数a的取值范围: (2)若,求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【解析】(1)因为,又,则,所