上海市格致中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

格致中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题：（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分，满分54分） 1．已如全集，集合，则______． 2．已知复数（i为虚数单位），则______． 3．若角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则______． 4．已知函数，则函数的值域为__________． 5．有一列正方体，棱长组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为 ，则______． 6．在中，角的对边分别为，若，，，则______． 7．已知向量满足，，，则与的夹角为______． 8、给出下面四个命题： ①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面； ②若直线直线，直线平面，则直线平面； ③若直线直线，直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线垂直于直线在平面内的射影，则直线直线． 则上述结论不正确的有__________．（填原号） 9．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，它们之间的夹角为_________． 10．已知，其中，若，，则实数的最大值为______． 11．设函数（为常数）在上严格递减，在和上严格递增，且的部分图像如图所示，则______． 12．2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方体叠加而成的大正方体，己知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东-西、南-北、上-下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点（小正方体的顶点）称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小正方体的棱长都为1米），若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：，，，，，处安装喷淋，使6处喷淋与水源接入口所管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为______米（水管必须在连通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗）． 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5分，满分18分） 13．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 14．由方程确定函数，则在上是（ ） A．增函数 B．减函数 C．奇函数 D．偶函数 15．已知函数，，下列四个结论中，正确的结论有（ ） ①方程有2个不同的实数解； ②方程有2个不同的实数解； ③方程有且只有1个实数解； ④当时，方程有2个不同的实数解． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．设圆和圆是两个定圆，动圆与这两个定圆都相切，则动圆的圆心的轨迹不可能是（ ） A． B． C． D． 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分） 如图，在长方体中，，，，点是棱的中点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求点C到平面的距离． 18．（本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分3分，第3小题满分8分） 小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯是相互独立的，每个路口遇到红灯的概率都是，每遇到一次红灯的平均等待时间是1分钟． （1）求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率； （2）求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率； （3）求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间的分布、期望、方差． 19．（本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分） 已知直线与曲线交于两点． （1）当时，有，求曲线的方程； （2）当时，求的面积的最大值； （3）当实数为何值时，对任意，都有为定值?指出的值． 20．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分） 在直角坐标平面中，已知点，，，，，其中是正整数．对平面上的任意一点，记为关于点的对称点，为关于点的对称点，，为关于点的对称点，． （1）设，求向量的坐标； （2）对任意偶数，试问：和之间有怎样的关系； （3）对任意偶数，用表示向量的坐标． 21．（本题共有3小题，满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设是坐标平面上的一点，曲线是函数的图像．若过点恰能作曲线的条切线，则称是函数的“度点”． （1）判断点是否为函数的1度点，请说明理由； （2）若点是的“度点”，求自然数的值； （3）求函数的全体2度点构成的集合． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.；