上海市杨浦高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试卷

杨高2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分） 1．不等式的解集是______． 2．的展开式中，的系数为______ （用数字作答）． 3．设为首项为3，公比为2的等比数列，记的前n项和为，则______． 4．在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则______． 5．若复数z是的一个根，则______． 6．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为______．（用数字作答） 7．在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆的面积为 . 8．若不等式对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是______． 9．正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是______． 10．拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之，内容为：如果函数在闭区间上的图像连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为______． 11．如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，______． 12．已知，是双曲线的左\右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍，则该双曲线的离心率______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分） 13．若，，则是事件A与事件B相互独立的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．下列函数中，在定义域内不是奇函数的是（ ）． A． B． C． D． 15．如图所示是中国2012～2021年汽车进、出口统计图，则下列结论错误的是（ ）． A．从2018年开始中国汽车出口量大于进口量 B．2012～2021年中国汽车进口量的极差约为49万辆 C．2012～2021年中国汽车进口量的标准差约为13.47万辆 D．2012～2021年中国汽车出口量的第60百分位数是104万辆 16．若，，，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（ ）． A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 三、解答题（满分78分，共有5题）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 已知向量，，其中，若函数的最小正周期为． （1）求的单调增区间； （2）在中，若，，，求的值． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值； （2）若存在，使，求k的取值范围． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 如图，在四棱锥中，，，，，． （1）当时，求直线与平面所成角的大小； （2）当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的右焦点为，且离心率，过点F且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，D为的中点，过F作直线l的垂线m，直线与直线m相交于点P． （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：点P在一条定直线上； （3）当最大时，求的面积． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 设函数． （1）求函数在点处的切线方程（用斜截式表示）； （2）证明：对每个正整数n，存在唯一的，满足； （3）证明：对于任意正整数p，由（2）中构成的数列满足． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.765; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，______． 【答案】 【解析】以为坐标原点,所在直线为轴,垂直于的直线为轴,建立空间直角坐标系, 因为四边形是平行四边形, 设的边长为,显然, 设,则 故,即, 因为,所以, 设,由,可得,又,所以, 因为,所以, 显然当,即时,取得最大值, 此时,, 故. 故答案为:0 12．已知，是双曲线的左\右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍，则该双曲线的离心率___