上海市徐汇中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

徐汇中学2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题(本大题共有12题,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知,则 . 2.若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为 . 3.已知,则在上的投影向量为 . 4.已知函数,若,则 . 5.在的二项展开式中,含有,项的系数为 . 6.已知,且,则的值是 . 7.5件产品中有3件正品,2件次品,从中任取2件,则恰有一件正品的概率为 . 8.已知等差数列前15项的和,则 . 9.已知在处取得极值,则的最小值为 . 10.已知函数在区间上单调递增,则满足的取值范围 . 11.在锐角中,内角所对应的边分别是,且,则的取值范围是 . 12.设,若存在使得关于的方程恰有六个解,则的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.下列四个命题中,为真命题的是( ). A.若,则 B.若则 C.若则 D.若,则 14.在平面直角坐标系中,“”是“方程表示的曲线是双曲线”的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 15.在中,角所对的边分别为,若,则的最小值为( ). A.2 B.4 C. D.17 16.若存在实数和,使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足:恒成立,则称此直线为和的“隔离直线”.有下列命题: (1)和之间存在唯一的“隔离直线”; (2)和之间存在“隔离直线”,且的最小值为-1, 则( ). A.(1)(2)都是真命题 B.(1)(2)都是假命题 C.(1)是假命题,(2)是真命题 D.(1)是真命题,(2)是假命题 三、解答题(本大题共有5题,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 如图,四棱雉中,底面为矩形,底面;分别为棱的中点. (1)求证:平面; (2)求异面直线与所成的角. 18.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分) 已知函数(期中)。 (1)若函数的最小正周期为,求的值,并求函数的单调递增区间. (2)若,且,求的值. 19.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 某公司实行了年薪制工资结构改革.该公司从2023年起,每人的工资由三个项目构成,并按下表规定实施: 项目 金额[万元/(人 年)] 性质与计算方法 基础工资 2022年基础工资为1万元 考虑到物价因素,决定从2023年 起每年递增(年入职年限无关) 房屋补贴 0.08万元 从2023年起,按职工到公司年限计算, 每年递增0.08万元 医疗费 0.32万元 固定不变 如果该公司2023年有5位职工,计划从2024年起每年新招5名职工.若2023年算第一年 (1)求第三年公司付给职工的工资总额。 (2)将第年该公司付给职工工资总额(万元)表示成年限的函数; (3)若公司每年发给职工工资总额中,房屋补贴和医疗费之和总是不会超过基础工资总额的,求的最小值. 20.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 已知椭圆是的下焦点,过点的直线交两点, (1)求的坐标和椭圆的焦距; (2)求面积的最大值,并求此时直线的方程; (3)在轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由. 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 已知函数,其中是自然对数的底数. (1)当时,求曲线在点处的切线方程; (2)当时,求在的最值. (3)若函数在上是严格递增函数,求的取值范围; 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11. 12. 11.在锐角中,内角所对应的边分别是,且,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由正弦定理和正弦二倍角公式可得 因为,所以, 可得, 因为,所以所以, 由可得 所以,由正弦定理得故答案为:. 12.设,若存在使得关于的方程恰有六个解,则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时, 当时,, 当时,, 则的图象如图所示: 当时, 当时,,令,则, 关于的方程恰有六个解, 关于的方程恰有两个解, 设,则 要存在满足条件,则,解得 的取值范围是. 故答案为:. 二、选择题 13.C 14.C 15.C 16.D 三.解答题 17.(1)证明略 (2) 18.(1) (2) 19.(1) (2) (3) 20.(本题满分16分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分) 已知椭圆是的下焦点,过点的直线交两点, (1)求的坐标和椭圆的焦距; (2)求面积的最大值,并求此时直线的方程; (3)在轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在,求出定点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1),焦距为 (2)面积的