上海市市北中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

市北中学2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分) 1.空间中已知直线,直线,直线,若直线直线,直线与直线异面,则直线与直线的位置关系是_. 2.已知球的表面积为,则该球的体积为_. 3.如图所示,是长方体,其中,点是棱上一点,若异面直线与互相垂直,则_. (第3题) (第5题) 4.已知某圆锥体的底面半径,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为的扇形,则该圆锥体的表面积是_. 5.如图,在棱长为2的正方体中,是的中点,是的中点,则直线与平面所成角的正切值为_. 6.已知是空间的两条不同直线,是两个不同的平面,下列四个命题中真命题的编号是_. ①.,则 ②.,则 ③.,则 ④.,则 7.圆柱容器内部盛有高度为2的水,若放入一个圆锥(圆锥的底面与圆柱的底面正好重合)后,水恰好淹没圆锥的顶部,则圆锥的高为_. 8.正四棱锥的侧棱与底面所成角的大小为,则侧面与底面所成二面角的大小为_. 9.已知三棱锥,且两两垂直,则点到平面的距离为_. 10.已知三棱柱的体积为30,为其侧棱上任意一点,则四棱锥的体积为_. 11.如图,在正方体中,分别是和的中点,则下列关系:①; ②平面; ③; ④平面,正确的编号为_. 12.在平面上有如下命题:“若为直线外一点,则点在直线上的充要条件是:存在实数,满足且”类比此命题,给出点在平面上的充要条件是:_. 二、选择(每题5分,共20分) 13.空间四边形四边相等,顺次连接的中点,则四边形一定是( ) (A)菱形 (B)正方形 (C)矩形 (D)空间四边形 14.一个正方体的八个顶点都在同一球面上,已知这个球的表面积是,则这个正方体的 体积是( ) (A) (B) (C)8 (D)24 15.已知,若共面,则实数( ) (A)2 (B)1 (C) (D) 16.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”,已知长方体 ,下列四组量中,一定能成为该长方体的“基本量”的是( ) (A)的长度 (B)的长度 (C)的长度 (D)的长度 三、解答: 17.叙述并证明三垂线定理 18.已知圆锥的顶点为,底面圆心为,半径为2,母线的长为且为线段的中点. (1)证明:平面平面; (2)求直线与平面所成角的大小. 19.如图:平面,四边形为直角梯形, . (1)求异面直线与所成角的大小; (2)求二面角的余弦值. 20.已知分别是正方体的梭的中点,求: (1)二面角的大小 (2)点在棱上,若与平面所成角的正弦值为,判断点位置并说明理由 21.我国古代数学名著《九章算术》中记载:“刍(ch )甍(m ng)者,下有袤有广,而上有袤无广、刍、草也、甍,窟盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍甍”如图所示,四边形为正方形,四边形为两个全等的等腰梯形,. . (1)设过点且与直线垂直的平面为平面,且平面与直线分别交于两点,求的周长; (2)求四面体的体积; (3)点在线段上且满足,试问:在线段上是否存在点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 一、填空题 1.相交或异面; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.①④; 7.; 8.; 9.; 10.; 11.①②④ 12.为平面外一点,则点在平面上的充要条件是:存在实数满足 11.如图,在正方体中,分别是和的中点,则下列关系:①;②平面;③;④平面,正确的编号为_. 【答案】①②④ 【解析】对于①,面面,,故正确; 对于②,如图1,取的中点O,可得面,故正确; 对于③,若,可得面,与已知矛盾,故错; 对于④,如图2,取中点,可得面, 又面,,平面,故正确。 故答案为:①②④. 二、选择题 13. C 14. C 15. B 16.A 15.已知,若共面,则实数( ) (A)2 (B)1 (C) (D) 【答案】B 【解析】向量共面,则,其中; 则 解得. 故选:A. 16.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”,已知长方体 ,下列四组量中,一定能成为该长方体的“基本量”的是( ) (A)的长度 (B)的长度 (C)的长度 (D)的长度 【答案】A 【解析】如图,设,,根据题意,利用方程思想分析各个选项: 对于选项:可得,据此可以解出,故正确; 对于选项:可得据此无法解出,故错误; 对于选项:可得,据此无法解出,故错误; 对于选项:可得,据此无法解出,故错误; 故选:. 三.解答题 17.证明略 18.(1)证明略 (2) 19.(1) (2) 20.已知分别是正方体的梭的中点,求: (1)二面角的大小 (2)点在棱上,若与平面所成角的正弦值为,判断点位置并说明理由