上海市宜川中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

宜川2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．计算：______． 2．已知集合，，则______． 3．二项式的展开式中，系数最大的项为______． 4．设函数，则______． 5．复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为______． 6．设x、y均为正实数，且，则的最大值为______． 7．已知直线l：与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为______． 8．已知点，，则在的的数量投影的值等于______． 9．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若点A、B、C、D在圆柱的一个底面圆周上，点P在圆柱的另一个底面内，则该圆柱的体积为______． 10．已知实数1，5，x，y的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______． 11．A、B、C三位好友进行乒乓球擂台赛，A、B先进行一局决胜负，负者下，由C挑战胜者，继续进行一局决胜负，负者下，胜者接受第三人的挑战，依次举行。假设三人水平接近，任意两人的对决胜负都是五五开，已知三人共比赛了3局，则三人各胜一局的概率为______． 12．如图，画一个正三角形，不画第三边：接着画正方形，对这个正方形，不画第四边，接着画正五边形；对这个正五边形不画第五边，接着画正六边形；……，这样无限画下去，形成一条无穷伸展的等边折线，称为比尔折线．设第条线段与第条线段所夹的角为，则______． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．下列函数在定义域内为偶函数的是（ ） A． B． C． D． 14．三角形ABC的三个顶点都不在平面上，则“平面ABC与平面平行”是“点A、B、C到平面的距离都相等”的（ ）条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分也非必要 15．已知复数z满足，则复数z的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．图1是某条公共汽车路线收支差额y关于乘客量x的图像．图2，图3是由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如所示． 对上述图表理解不正确的有（ ） A．图1中A的实际意义为：乘客量为0时，亏损1单位； B．图1中射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利； C．图2的建议为降低成本而保持票价不变； D．图3的建议为降低成本的同时提高票价． 三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 如图，正四棱柱中，． （1）求证：是锐角三角形； （2）求异面直线与所成的角的大小． 18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有，，成等差数列，，，成等比数列，且，． （1）求证：数列是等差数列； （2）求数列、的通项公式． 19.(本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题6分,第（2）小题8分.) 某矿物质有A、B两种冶炼方法，若使用A方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）的平方成正比，若使用B方法，所需费用（单位：千元）与矿物质的重量（单位：吨）成正比，已知用A方法冶炼2吨、用B方法冶炼1吨所需的总费用为14千元，用A方法冶炼1吨、用B方法冶炼2吨所需的总费用也是14千元，现有该矿物质共m吨（），计划用A方法冶炼x吨（），剩余部分用B方法冶炼，所需总费用为y千元。 （1）建立y与x的函数关系： （2）求总费用y的最小值，并说明其实际意义． 20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第(3)小题满分6分) 已知椭圆：，，为左右焦点，直线l过左焦点与椭圆交于A，B两点，其中A在第一象限，记，，． （1）若椭圆的离心率为，三角形的周长为6，求椭圆的方程； （2）求证：； （3）直线AF₂与椭圆交于另一点，若，求的最大值． 21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分) 已知集合M是满足下列性质的函数的全体：在定义域内存在实数t，使得． （1）判断是否属于集合M，并说明理由； （2）若属于集合M，求实数a的取值范围； （3）若，求证：对任意实数b，都有． 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.第5项； 4.； 5.7； 6.1； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 12.如图，画一个正三角形，不画第三边：接着画