上海海事大学附属北蔡高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

北蔡中学2023学年度第一学期高三数学期中考试 2023.11 1、 填空题（本大题共有12题,满分36分,每题3分） 1．设空间两个角与，若它们的两边分别平行，，则______． 2．已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点是，则它的标准方程为______． 3．已知函数，则______； 4．已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为______． 5．三条直线两两相交，由这三条直线所确定的平面是______个 6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为______． 7．如图1，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC上一点，若平面MDB，则______． 图1 图2 图3 8．空间有6个点，其中任意三点不共线，且有五个点共面，则这6个点最多可以确定______个平面． 9．如图2为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为______． 10. 如图3在多面体中，，，，，则______． 11．已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是______． 12．若存在实常数k和b，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足和恒成立，则称直线为和的“隔离直线”．已知函数，，，则有下列命题： ①与有“隔离直线”； ②和之间存在“隔离直线”，且b的最小值为-4； ③和之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是； ④和之间存在唯一的“隔离直线”．其中真命题的序号为_____．（请填上所有正确命题的序号） 二、单选题(本大题共有4题,满分12分,每题3分) 13．已知A、B、C表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理中错误的是（ ） A．，，， B．， C．A，，直线AB与直线l可能是异面直线 D．，， 14．曲线在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 15．如图，已知长方体中，，，则直线到平面的距离是（ ） A．5 B．8 C． D． 16．已知抛物线的焦点为P，过点F的直线交抛物线于A，B两点，延长FB交准线于点C，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别记为M，N，若，则的面积为（ ） A． B．4 C． D．2 三、解答题(共5道大题,其中17题10分,18题10分,19题10分,20题10分,21题12分,共计52分) 17．（本题满分10分.本题共2小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分.) 已知正方体， （1）证明：平面； （2）求异面直线与BD所成的角． 18．（本题满分10分.本题共2小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分.) 某校高二年级某小组开展研究性学习，主要任务是对某产品进行市场销售调研，通过一段时间的调查，发现该商品每日的销售量（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）近似满足关系式，其中，，a，b为常数，已知销售价格为4.5元/千克时，每日可售出22千克，销售价格为5元/千克时，每日可售出11千克． （1）求的解析式； （2）若该商品的成本为3元/千克，请你确定销售价格x的值，使得商家每日获利最大。 19．（本题满分10分.本题共2小题,第（1）小题4分,第（2）小题6分.) 四边形ABCD是边长为1的正方形，AC与BD交于O点，平面ABCD，且 满足． （1）求证：AB和PC是异面直线； （2）求直线PC和平面ABCD所成角． 20．（本题满分10分.本题共2小题,第（1）小题5分,第（2）小题5分.) 如图所示，已知抛物线C：，过点的直线l与抛物线C有两个交点，若抛物线C上存在不同的两点M，N关于直线l对称，记MN的中点为T． （1）求点T的轨迹方程； （2）求的最大值． 21．（本题满分12分.本题共有3小题,第(1)小题满分3分,第（2）小题满分4分.第(3)小题满分5分) 已知函数，． （1）讨论的单调区间； （2）当时，令， ①证明：当时，； ②若数列满足，，证明：． 参考答案 一、填空题 1.或； 2.； 3.； 4.； 5.或； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.； 11.已知函数在区间上有两个零点，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】令,则,令,则, 故当时,单调递减;当时,单调递增, 而,, 函数在上有两个