上海外国语大学闵行外国语中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

上闵外2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分) 1.函数的定义域是_. 2.设全集,则_. 3.已知,则_. 4.已知扇形的圆心角为,其弧长为 ,则此扇形的面积为_.(结果保留 ) 5.已知a,且,则的最小值是_. 6.设、是方程的两个实数根,则_. 7.由函数的观点,不等式的解集是_. 8.已知函数,若,则_. 9.已知A,B是球O的球面上两点,,P为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为6,则球O的表面积为_. 10.已知,在函数与的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则 的值为_ 11.设a,,且,则的最大值为_ 12.平面上有一组互不相等的单位向量,,…,,若存在单位向量满足,则称是向量组,,…,的平衡向量.已知,向量是向量组,,的平衡向量,当取得最大值时,的值为_. 二.选择题(本大题满分18分)本大题共有4题,13-14每题4分,15-16每题5分. 13、若实数a、b满足,下列不等式中恒成立的是( ) A. B. C. D. 14.若直线和是异面直线,在平面 内,在平面 内,l是平面 与平面 的交线,则下列命题一定正确的是( ) A.l与、都不相交 B.l与、都相交 C.l至多与、中的一条相交 D.l至少与、中的一条相交核 15、设,其中常数,,,.若函数的图象如图所示,则数组的一组值可以是( ) A. B. C. D. 16、设、、是定义域为R的三个函数,对于命题:①若、、均为增函数,则、、中至少有一个增函数;②若f、、均是以T为周期的函数,则、、均是以T为周期的函数,下列判断正确的是( ) A.①和②均为真命题 B.①和②均为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题 三、解答题(本大题满分78分)本大题共有5题,17题14分,18题14分,19题14分,20题18分,21题18分. 17、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分。 已知向量,,函数. (1)求的最小正周期及图象的对称轴方程; (2)若,求的值域. 18、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分. 如图,在直棱柱中,,,D,E,F分别是,,BC的中点. (1)求证:; (2)求AE与平面DEF所成角的大小. 19、(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分6分。 已知函数是奇函数. (1)求实数k的值; (2)若关于x的不等式有且只有一个整数解,求实数a的取值范围. 20、(本题满分18分,第1小题满分6分,第2小题满分8分,第3小题满分4分) 某小区有块绿地,绿地的平面图大致如下图所示,并铺设了部分人行通道.为了简单起见,现作如下假设: 假设1:绿地是由线段AB,BC,CD,DE和弧围成的,其中是以O点为圆心,圆心角为的扇形的弧,见图1; 假设2:线段AB,BC,CD,DE所在的路行人是可通行的,圆弧暂时未修路; 假设3:路的宽度在这里暂时不考虑; 假设4:路用线段或圆弧表示,休息亭用点表示. 图1-图3中的相关边、角满足以下条件: 直线BA与DE的交点是O,,.米.小区物业根据居民需求,决定在绿地修建一个休息亭.根据不同的设计方案解决相应问题,结果精确到米. (1)假设休息亭建在弧的中点,记为Q,沿和线段QC修路,如图2所示.求QC的长; (2)假设休息亭建在弧(EA) 上的某个位置,记为P,作交BC于M,作交DC于N.沿EP、线段PM和线段PN修路,如图3所示.求修建的总路长的最小值; (3)请你对(1)和(2)涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价. 图1 图2 图3 21、(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知函数. (1)求曲线在处的切线方程; (2)函数在区间上有零点,求k的值; (3)记函数,设,是函数的两个极值点,若,且恒成立,求实数k的最大值. 上闵外2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一. 填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6题每题4分,7-12题每题5分. 1. 函数的定义域是 . 【答案】 2. 设全集,则 . 【答案】 3.已知,则_. 【答案】-1 4.已知扇形的圆心角为,其弧长为,则此扇形的面积为_.(结果保留 ) 【答案】 5. 已知且,则的最小值是_. 【答案】4 6.设是方程的两个实数根,则=_. 【答案】2024 7.由函数的观点,不等式的解集是_. 【答案】(0,1】 8.已知函数,若,则_. 【答案】-9 9. 已知,在函数与的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则 的值为_. 【答案】 10.已知,是球的球面上两点,,为