上海市实验学校东滩高级中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

上实东滩2023学年第一学期高二年级数学期中 2023.11 1、 填空题(本大题满分40分) 1.在空间四边形的边上分别取点,如果相交于一点,那么一定在直线__________上. 2.在正方体中的12条棱所在直线中,与直线是异面直线的共有__________条. 3.若圆锥的底面半径为1,母线长为2,则它的侧面展开图面积是__________. 4.已知正四棱锥的侧棱和底面边长均为,则该四棱锥的高为__________. 5.在长方体中,,则直线与平面所成角的大小为__________. 6.如图,在平行六面体中,点分别是棱的中点,记,,则等于__________. (于表示) 7.一个梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且,则原梯形的面积为__________. (第6题图） （第7题图） （第8题图） 8.如图,在正四面体中,,则异面直线与所成角的余弦值为__________. 9.如图,边长为1的正方形中,分别是的中点,沿把这个正方形折成一个四面体使,三点重合,重合后的点记为.则在四面体中,点到平面的距离为__________. 10.如图,四棱柱的底面是边长为2的正方形,底面.在正四棱柱内放有一个圆柱,使圆柱的下底面在正四棱柱的底面上,圆柱的上底面正四棱柱的四个侧面相切.当圆柱的侧面积最大时，圆柱的底面半径为__________. （第9题图） （第10题图） （第11题图） 2、 选择题(本大题满分16分) 11.如图,长方体被截去一部分,其中,剩下的几何体是（ ） A.棱台 B.四棱柱 C.五棱柱 D.六棱柱 12.已知正方体的体积是8,则这个正方体的外接球的体积是( ) A. B. C. D. 13.下列说法正确的是( ) A.设空间两个角与,若它们的两边分别平行,,则 B.若不重合的三条直线相交于一点,则它们能确定1或3个平面 C.若直线和平面平行,且直线平面,则直线直线 D.若直线平面,直线直线,则直线平面 14.某景区为提升游客观赏体验，搭建一批圆锥形屋顶的小屋(如图1).现测量其中一个屋顶,得到圆锥的底面直径长为12米,母线长为18米(如图2).若是母线的一个三等分点(靠近点),从点到点绕屋顶侧面一周安装灯光带,则灯光带的最小长度为( )米 A. B.12 C.16 D. 三、解答题(本大题满分44分) 15.(本题满分10分,第1小题满分5分,第2小题满分5分) 在正三棱柱中,已知它的底面边长为2. (1)若该正三棱柱的高为4,分别求其表面积与体积. (2)若直线与平面所成角的大小为,求三棱锥的体积. 16.(本题满分10分,第1小题满分5分,第2小题满分5分) 在正方体中,点分别是的中点. (1)证明:平面平面; (2)求直线与所成角的正切值. 17.(本题满分10分,第1小题满分3分,第2小题满分4分,第3小题满分3分) 已知空间三点,设. (1)若,求点坐标 (2)若向量与互相垂直,求实数的值; (3)若向量与平行,求实数的值. 18. (本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6分) 在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图,在“阳马”中,侧棱底面,且. (1)若,试计算底面面积的最大值; (2)过棱的中点作,交于点,连,,求证:直线平面 (3)若平面与平面所成锐二面角的大小为,试求的值. 4、 附加题(本大题满分20分) 19.(本题满分10分,第1小题满分3分,第2小题满分4分,第3小题满分3分) 如图,四棱锥中,平面 ,为的中点,与相交于点. (1)求证:平面; (2)求证:平面; (3)求直线与平面所成角的正弦值. 20.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分6分) 如图,在三棱锥中,是以为斜边的等腰直角三角形,为中点,平面为内的动点(含边界)。 (1)求平面与平面夹角的正弦值; (2)若平面,求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.； 2.6； 3.； 4.1； 5.； 6.； 7.8； 8.； 9.如图,边长为1的正方形中,分别是的中点,沿把这个正方形折成一个四面体使,三点重合,重合后的点记为.则在四面体中,点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】由题意,折叠后的四面体如图所示, 因为正方形边长为分别是的中点,