上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

上海中学东校2023学年第一学期高三年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分） 1．函数的定义域为_____． 2．函数（且）的图象桓过定点P，则点P的坐标为_____． 3．若函数是奇函数．则实数_____． 4．已知，若函数的一个零点为，则_____． 5．设等差数列的前n项之和满足，那么_____． 6．设n是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则_____． 7．实于x的不等式的解是．则实数a的取值范围为______． 8．设正数x、y满足，则的最小值为______． 9．已知是定义在R上的奇函数，且对于任意均有，若当时，，则______． 10．在中，，，若，，其中，则的最小值为______． 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______． 12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______． 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 13．下列各组不等式中，解集完全相同的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 14．如图，弧、、、是圆上的四段弧，点P在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则P所在的圆弧可以是（ ） A．弧 B．弧 C．弧 D．弧 15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ） 16．将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分) 17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.) 在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，． 求：（1）a的值； （2）和的面积． 18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）若恒成立，求a的取值范围． 19.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.) 已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）． （1）求证：数列为等差数列； （2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小． 20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第 (3)小题满分6分) 已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内． （1）求双曲线的方程； （2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值； （3）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分) 已知函数，，令． （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当a为正数且时，求a的最小值； （3）若对一切都成立，求a的取值范围． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______． 【答案】 【解析】不妨设交点在第一象限,设,, 则,,其中 化为,, 化为,,,解得, 当且仅当时取等号.故答案为 12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______． 【答案】 【解析】对于时,不等式均成立, 即恒成立, 令 则表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧; 表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧, 如下所示:其中,, 根据题意,要满足题意,其图象需在圆弧以及圆弧之间, 数形结合可知:连接后所形成的直线恰好满足题意,且唯一, 其斜率为,故其方程为,故实数对, 为严谨,下证直线与圆相切,圆心到直线的距离,其与半径1相等,故圆与直线相切,即证. 故答案为:. 二、选择题 13.D 14.C 15.D 16.A 15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（ ） 【答案】D 【解析】不妨设导函数的零点依次为,,其中, 由导函数图象可知,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数,在,上为增函数,从而排除A,C. 在处取到极小值,在处取到极大值,又,排除B, 故选D. 16．将函