上海市上海中学东校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷

上中东校2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1．用或填空：0______． 2．已知集合且，则______． 若集合有且只有两个子集，则实数______． 4．不等式的解集是______． 5．若，则______． 6．三角不等式中，等号当且仅当______成立． 7．如果，那么从小到大的顺序是______． 8．已知正数满足，则的最小值为______． 9．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 10．定义：关于的不等式的解集叫的邻域，著的邻域为区间，则的最小值是______． 11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______． 12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分） 13．集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 14．已知，下列各不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 15．集合，若，则（ ） A． B． C． D． 16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（ ） A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 三．解答題 17．已知集合，若，，求的值． 18．集合 （1）求； （2）求． 19．设，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 21．对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”． （1）判断集合是否为“和谐集”，并说明理由； （2）求证：集合是“和谐集”； （3）求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12. 11．设是非空集合，定义：且．已知，则等于______． 【答案】 【解析】集合,则,, 12．若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是______． 【答案】 【解析】由于 根据题意,规定集合,的子集,为的第个子集,其中则的第211个子集是 故答案为:. 二、选择题 13.D 14.D 15. C 16.D 15．集合，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设,,, 故选:. 16．已知为实数，，记集合，则下列命题为真命题的是（ ） A．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 B．若集合的元素个数为2，则集合的元素个数也一定为2 C．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 D．若集合的元素个数为3，则集合的元素个数也一定为3 【答案】D 【解析】,两边除以平方,得 如果两个根不为与的根互为倒数, 有一个根为, 如果,一定有一个根,这两个根也是互为倒数, 若有两个根,另外一个根为0,则只有一个根,故不成立, 同理不成立, 若有三个根,其中一个根为,则不等于有2个与不同的根,其中都不为0,否则得到,显然不成立,那么这三个根的倒数必然存在,且不相等, 故也有三个不同的根,所以成立,反之,根据以上分析,不一定成立, 故选:. 三．解答题 17.-14 18.（1） （2） 19. 20．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工用品，其生产的总成本（万元）与年产量（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最大为210吨． （1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本； （2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）时每吨平均成本最低,且最低成本为32万元. （2）当年产量为210吨时,最大年利润1660万元. 【解析】(1)设每吨的平均成本为万元, 则