上海市七宝中学浦江分校2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

上海市七宝中学浦江分校2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分） 1．若，则______. 2．不等式的解集为______. 3．化简______． 4．不等式的解集是______. 5．已知正实数满足，则的最小值是______. 6．已知，则的值为______． 7．已知集合，，且，则实数的取值范围是_____. 8．已知关于的方程有两个不同实根，且满足，则实数的值是______. 9．对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 10．若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是______. 11．已知关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是______. 12．是有理数集，集合，在下列集合中： ①；②； ③；④． 与集合相等的集合序号是______. 二、选择题（第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分） 13．设条件，条件，则条件是条件的（ ） A．充分不必要条件 B．不要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 14．对数中的实数的取值范围与下列哪个不等式的解相同（ ） A． B． C． D． 15．下列说法正确的是（ ） A．若 B．的最小值为2 C．设 D．周长为10的所有矩形中，面积最大的为25 16．根据“幂的基本不等式：当是，”，对于下列命题： ①若，存在，使得；②若，对任意，满足． 下列说法正确的为（ ） A．①真②假 B．①假②真 C．①②都假 D．①②都真 三、解答题（共78分） 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知全集为，，． （1）求； （2）求． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分． （1）设为实数，比较和的值的大小； （2）用三角不等式证明对所有实数恒成立，并求等号成立的条件． 19．（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分． 近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元． （1）该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？ （2）该公司几年后年平均利润最大，最大是多少？ 20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分 已知关于的不等式：． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求不等式的解集； （3）命题若二次不等式的解集为空集，命题对任意实数都成立，若中至少有一个真命题，求实数的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知代数式和． （1）若，求不等式的解集； （2）若，证明中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.100; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.④ 二、选择题 13.A 14. D 15.C 16.B 三．解答题 17.（1） （2） 18.（1） （2）证明略 19.（1）第3年 (2)第7年最大，为12万元 20．（1） （2） （3） 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知代数式和． （1）若，求不等式的解集； （2）若，证明中至少有一个数不小于； （3）若，不等式对任意实数恒成立，试确定实数满足的条件． 【答案】（1） （2）证明略 （3） 【解析】（1）略； （2）证明略 （3）若,不等式对任意实数恒成立,则 ①当时,, ,要使不等式在R上恒成立,则. ②当时,, ,要使不等式在上恒成立,则与矛盾。 ③当时,, ,要使不等式在R上恒成立,则, 将代入中,得,要使与有交集,则, 与矛盾. ④当时,, ,要使不等式在上恒成立,则与矛盾 综上,要使不等式在上恒成立,实数满足的条件为 学科网（北京）股份有限公司 $$