精品解析：四川省眉山市东坡区多悦高级中学校等2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题

2025届高二期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题共60分） 一、单选题 1. 若书架上放有中文书5本，英文书3本，日文书2本，则抽出一本非中文书的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 若、、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是（ ） A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球,则所取的3个球中至少有1个白球的概率是(　　) A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则长等于（ ） A. B. C. 4 D. 2 7. 某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体表面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 必然事件的概率为0 B. 事件一个基本事件 C. 随机事件A的概率满足 D. 每一个随机事件都是样本空间的一个子集 10. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是边长为1的菱形，且，，则（ ） A. B. C. D. 11. 图，在棱长为2的正方体中，点E，F分别是线段AC，上的动点，，，且.记与所成角为，与平面所成角为，则（ ） A. 当时，四面体的体积为定值 B. 当时，存在，使得平面 C. 对于任意，，总有 D. 当时，在侧面内总存在一点P，使得 12. 疫情当下，通过直播带货来助农，不仅为更多年轻人带来了就业岗位，同时也为当地农民销售出了农产品，促进了当地的经济发展.某直播平台的主播现要对6种不同的脐橙进行选品，其方法为首先对这6种不同的脐橙（数量均为1），进行标号为1~6，然后将其放入一个箱子中，从中有放回的随机取两次，每次取一个脐橙，记第一次取出的脐橙的标号为，第二次为，设，其中[x]表示不超过x的最大整数，则（ ） A B. 事件与互斥 C. D. 事件与对立 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 三、填空题 13. 如图，矩形长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为______. 14. 已知为空间的一个单位正交基底，且向量， ，则向量用坐标形式表示为________． 15. 四种电子元件组成的电路如图所示，电子元件正常工作的概率分别为，则该电路正常工作的概率为_________. 16. 已知单位空间向量，，满足，.若空间向量满足，且对于任意实数，的最小值是2，则的最小值是___________. 四、解答题 17. 把标号为1、2、3、4四张卡片分给甲、乙、丙、丁四个人，每人一张．设：甲分得1号卡片；：乙分得1号卡片． （1）写出具体样本空间； （2）求，； （3）与是否相互独立，并说明理由. 18. 在四棱柱中，，． （1）当时，试用表示； （2）证明：四点共面； 19. 甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． （1）求的概率； （2）这种游戏规则公平吗？请说明理由． 20. 科学家在1927年至1929年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为，，，根据1940年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为占99.759%，占0.037%，占0.204%．现有3个，2个，n个，若从中随机选取1个氧元素，这个氧元素不是的概率为． （1）求n； （2）若从中随机选取2个氧元素，求这2个氧元素是同一种同位素的概率． 21. 已知在平行六面体中，，，且. （1）求的长； （2）求向量与夹角的余弦值.