江西省全南中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题

全南中学2023-2024学年第一学期高中学段期中考试 三年级数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 2．已知为虚数单位，若复数的模为该复数的实部的倍，则 A．0 B．-4 C．1或-1 D．1 3．已知p：x2+x-2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　) A． B．10 C．20 D．100 5．已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B．2 C． D． 7．托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每题5分，共20分） 9．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．图象的一条对称轴方程是 C．图象的对称中心是， D．函数是偶函数 10．已知，为定义在上的函数，且对任意的x，y满足：，且，则下面说法正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．若，则3是的一个周期 11．已知矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（    ） A．四棱锥的体积最大值为 B．四棱锥的外接球体积不变 C．异面直线与所成角的最大值为 D．与平面所成角的最大值为 12．对于给定的数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（    ） A．等差数列是“线性数列” B．等比数列是“线性数列” C．若是等差数列，则是“线性数列” D．若是等比数列，则是“线性数列” 三、填空题（共20分） 13．已知等差数列满足，，则的前项的和为 14．已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则 . 15．四个棱长为1的正方体拼成如图所示长方体，为上表面异于B的8个点，结果有 个不同的值． 16．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题（共70分） 17．在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 18．设数列的前项和为，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，，证明：，. 19．如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值． 20．为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高的A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：    (1)若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；； (2)已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由． 21．已知点和直线，动点到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)过点的直线交于两点，若点的坐标为，直线与轴的交点分别是，证明：线段的中点为定点. 22．已知函数． （1）试判断函数的单调性； （2）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 答案 1．B 由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 2．A 复数. 模为：. 根据题意得：，解得. 故选：A. 3．D 由得或，设, 若q是p的充分不必要条件，则 所以a≥1． 故选：D． 4．A a=log2m，b=log5m，则，∴m=，故选A. 5．A ，， ，又， ，， 而，故. 故选：A 6．D 令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为， 则四边形的面积， 当且仅当，即四边形为正方形时取等号， 由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图， ，高， 因此四棱锥的最大