2024年九年级中考数学专题复习题型突破讲义：折叠问题

矩形中的折叠问题 常见折叠问题分类 解决折叠问题技巧 一个本质+二项归类 1.折叠问题的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形； 2.折痕可看作垂直平分线：折痕垂直平分连接两个对应点的连线； 3.折痕可看作角平分线：对称线段所在的直线与折痕的夹角相等 一种思想 方程思想 类型1 点B＇落在矩形边上 例1 如图，在矩形ABCD中，点P是AB边上的一点，将△PBC沿PC折叠，使点B落在AD上点B′处，若AB=3，BC=5，则AP的长为___. 【变式1】如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，将矩形沿CE折叠，点D的对应点F恰好落在边BC上，CE交BD于点H，连接HF.若BF＝HF，则∠ADB＝____度． 【变式2】如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE∶EC=2∶1,则线段CH的长是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 【变式3】如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝DE，BC＝3BF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处，则cos∠EGF的值为_____． 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的某一条边上 结论： （1）线段关系：BP=___，BC=____； （2）角度关系： ∠B=___， ∠BPC=____, ∠BCP=____； （3）全等关系： △BCP≌____； （4）相似关系： △AB′P∽____ 类型2 点B′落在矩形外 例2 已知矩形ABCD中，AD=8，AB=4.如图，把矩形ABCD沿EF折叠，若∠CFG＝62°，则∠BFE＝_____°. 【变式4】如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为______. 【变式5】如图,将矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点F处,FC交AD于E.若AB=3,BC=5,求图中阴影△AEC的面积. 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的外部 结论： （1）线段关系：AB=___，BC=___=AD； （2）角度关系： ∠B=____， ∠BCA=____； （3）全等关系： ____≌△AB′C， △AB′F≌____； （4）常用的特殊三角形： △CFD和△AFB′都是_____三角形，△AFC是____三角形 类型3 点B′落在矩形内部 例3 在矩形ABCD中，E是BC边上一点.已知AB＝6，AD＝8，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点B′恰好落在对角线AC上时，则AE的长为_______. 【变式6】如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平,再一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG的大小为(　　) A.30° B.45° C.60° D.75° 变式6题图 变式7题图 变式8题图 【变式7】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,点H是AB的中点,将△CBH沿CH折叠,点B落在矩形内点P处,连接AP,则tan∠HAP=____. 【变式8】在矩形ABCD中，点E是BC边上一点.如图，将△ABE沿AE折叠，使点B的对应点F落在矩形内部，且D，E，F三点共线，若AD＝10，tan∠EAF＝，则矩形ABCD的面积为______. 【思路点拨】 通过折叠，矩形的一个顶点落在矩形的外部 结论： （1）线段关系：BP=___，BC=___； （2）角度关系: ∠B=____, ∠BCP=____, ∠APB′=____； （3）全等关系： △BCP≌____； （4）相似关系： ____∽△ABC 例1 【解析】∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5， ∴CD=AB=3，AD=BC=5，∠D=∠A=90°. 由折叠的性质，得B′C＝BC＝5，BP＝B′P. 在Rt△B′CD中，DB′＝＝4.∴AB′＝AD﹣DB′＝1. 设AP＝x，则BP＝B′P=3﹣x. 在Rt△AB′P中，B′P2＝AP2+AB′2，即（3﹣x）2＝x2+12.解得x＝.∴AP＝. 【思路点拨】（1）B′P B′C（2）∠CB′P ∠B′PC ∠B′CP（3）△B′CP（4）△DCB′ 【变式1】30 【解析】如图，连接DF，延长FH交AD于点G， 根据折叠的性质，得CD=CF，∠DFC=∠FDC=45°，∠GDF=45°. ∴HF=HD.∴∠HFD＝∠HDF. ∵FB=FH，∴∠FBH=∠FHB=∠GHD. ∵∠GHD=∠HFD+∠HDF