2024年中考数学专题复习题型突破讲义：全等模型之一线三等角

全等模型之一线三等角 类型1 一线三垂直 例1 如图,AB⊥BC,CD⊥BC,AE⊥DE,AE=DE,求证:AB+CD=BC. 【变式1】如图，AC=CE，∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB=6 cm，DE=2 cm，则BD=（ ） A． B． C． D． 变式1题图 变式2题图 【变式2】如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,AD=2.5 cm,BE=0.8 cm,则DE的长为_______. 【变式3】如图1,图2,在平面直角坐标系中,等腰Rt△ABC有两个顶点在坐标轴上,求第三个顶点的坐标. 【模型归纳】 模型特点 三个直角的顶点在同一条直线上 模型展示 已知：AB⊥BC，DE⊥CE，AC⊥CD，AB=CE 已知：AB⊥BC，AE⊥BD，CD⊥BD，AB=BC 结论 ①∠A=∠DCE，∠ACB=∠D，△ABC≌△CED;②BE=AB+DE;③连接AD，△ACD是等腰直角三角形 ①∠A=∠DBC，∠ABE=∠C，△ABE≌ △BCD;②DE=AE-CD 类型2 一线三等角（非直角） 例2 如图，直线m经过等边三角形ABC的顶点A，在直线m上取两点D，E，使得∠ADB＝60°，∠AEC＝60°．求证：BD＋CE＝DE. 【变式4】如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE=（　　） A．3 B．2 C． D． 变式4题图 变式5题图 【变式5】如图,点B,C,D在同一条直线上,点A和点E在BD的同侧,且AB=CD,∠ACE=∠B=∠D.若BC=2,AB=3,则BD的长为____. 【变式6】如图,点B,C分别在∠MAN的边AM,AN上,点E,F在∠MAN内部的射线AD上,∠1,∠2分别是△ABE,△CAF的外角.已知AB=AC,∠1=∠2=∠BAC.求证:△ABE≌△CAF. 【模型归纳】 模型特点 三个等角（∠1=∠2=∠3）的顶点在同一条直线上 模型展示 （两个三角形在直线同侧）已知AP=BD （两个三角形在直线异侧）已知CP=PD 结论 △CAP≌△PBD（AAS） 例1 证明：∵AE⊥DE,AB⊥BC,DC⊥BC,∴∠AED=∠B=∠C=90°. ∴∠A+∠AEB=∠AEB+∠CED=90°.∴∠BAE=∠CED. 在△ABE和△ECD中,∴△ABE≌△ECD（AAS）. ∴AB=EC,BE=CD.∴AB+CD=EC+BE=BC. 【变式1】B 【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴. ∵∠ACE＝90°，∴. ∵，∴. 在和中， ∴.∴，. ∴（cm）. 【变式2】1.7 cm 【解析】∵AD⊥CE，BE⊥CE，∴∠ADC=∠E=90°.∴∠ACD+∠CAD=90°. ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°.∴∠BCE=∠CAD.∴△BCE≌△CAD. ∴CD=BE=0.8 cm，CE=AD=2.5 cm.∴DE=CD-CE=2.5-0.8=1.7（cm）． 【变式3】解：如图1,过点B作BD⊥x轴于点D. ∴∠BCD+∠DBC=90°. 由等腰Rt△ABC可知,BC=AC,∠ACB=90°. 易知∠BCD+∠ACO=90°.∴∠DBC=∠ACO. 在△BCD和△CAO中, ∴△BCD≌△CAO（AAS）.∴CD=OA,BD=OC. ∵OA=3,OC=2,∴CD=3,BD=2.∴OD=5.∴B(-5,2). 如图2,过点A作AD⊥y轴D于点. 在△ACD和△CBO中, ∴△ACD≌△CBO（AAS）.∴CD=OB,AD=CO. ∵B(-1,0),C(0,3),∴OB=1,OC=3.∴AD=3,OD=2.∴A(3,2). 例2 证明：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.∴∠DAB＋∠CAE＝120°. 又∠ADB＝∠AEC＝60°，∴∠ABD＋∠DAB＝120°.∴∠ABD＝∠CAE. ∴△ABD≌△CAE（AAS）.∴BD＝AE，AD＝CE.∴DE＝AD＋AE＝BD＋CE． 【变式4】A 【解析】∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C. ∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB， ∴∠BAD＝∠CDE. ∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED. 在△ABD与△DCE中， ∴△ABD≌△DCE（AAS）.∴CD＝AB＝9，BD＝CE. ∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3. 【变