2024年中考数学专题复习题型突破讲义：遇到中点如何添加辅助线

遇到中点如何添加辅助线 类型1 构造三角形的中位线 例1 如图，点O为平行四边形ABCD的对角线AC和BD的交点，点E为边BC的中点，连接AE交BD于点F，则的值为（ ） A. B. C. D. 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，点D是BC边的中点，点E在AB边上，若∠DEC=45°，则DE的长为（ ） A. B.6 C. D.8 【模型归纳】 （1）已知三角形两边的中点 （2）已知三角形一边的中点 结论：DE____BC，________∽△ABC 类型2 构造中线 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC=5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN=____. 【变式2】如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，点E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，DE的最小值为________． 【模型归纳】 （1）遇到等腰三角形底边中点，考虑连中线构造三线合一 结论：AD__⊥__BC，AD平分__BC__ （2）遇到直角三角形斜边中点,考虑连中线构造斜边中线 结论：CD=____AB 类型3 倍长中线（类中线），构造全等 例3 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，BE＝AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF＝∠EAF． 【变式3】一个三角形的两边长分别为5和9，设第三边上的中线长为，则的取值范围是（ ） A. B． C. D． 【变式4】如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，AB＝12，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，则AE的长为（　　） A.6.5 B.6 C.5.5 D.5 【模型归纳】 （1）三角形与中线，考虑倍长中线构造8字全等（SAS） 方法：延长AD到点E，使DE=AD，连接CE（或BE） 结论：①△CDE≌△BDA（SAS）;②AB∥CE （2）三角形与类中线: 辅助线：倍长类中线构造8字全等（SAS） 方法：延长ED到点F，使EF=DE，连接CF 结论：①△CEF≌△BED（SAS）;②CF∥BD 类型4 其他图形中的中点 例4 如图，已知⊙O的直径AB＝10 cm，CD是⊙O的弦，M为CD中点，垂足为点M，且CD＝8 cm，则AC的长为_____cm． 例5 如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若点E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为_____. 【模型归纳】 （1）圆中弦或弧的中点：（如图，点C为弦AB的中点，连接OC） 结论：OC⊥AB （2）坐标系中线段的中点：（已知点M是线段AB的中点） 结论：， 例1 D 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，BO=OD=BD，AD∥BC. ∴∠ADO=∠OBC，∠DAE=∠AEB. ∴△AFD∽△EFB.∴. ∵E为边BC的中点，∴BE=BC. ∴.∴.∴FD=2BF. ∴BD=BF+FD=BF+2BF=3BF，OF=BO-BF=BD-BF=×3BF-BF=BF.∴=． 【变式1】A 【解析】如图，过点D作DF⊥AC于点F. ∴∠DFC＝∠A＝90°.∴AB∥DF. ∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC.∴AF＝CF.∴DF=AB＝3. ∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形.∴DE=DF=3. 【模型归纳】= △BED 例2 2.4 【解析】如图，连接AM. ∵AB=AC，点M为BC中点， ∴AM⊥CM（三线合一），BM=CM. ∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=CM=3. 在Rt△ABM中，AB=5，BM=3， 由勾股定理，得AM==4. 又S△AMC=MN•AC=AM•MC， ∴MN=． 【变式2】 【解析】如图，当、、三点共线，距离DE最小. ∵，为的中点， ∴，.∴. 例3 证明：如图，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM. ∵点D是BC边的中点，∴BD＝CD. 在△ADC和△MDB中,∴△ADC≌△MDB（SAS）. ∴∠1＝∠M，AC＝MB.∵BE＝AC，∴BE＝MB.∴∠M＝∠3.∴∠1＝∠3. ∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠2，即∠AEF＝∠EAF. 【变式3】D 【解析】如图，在△ABC中，AB=5，BC=9，BD是△ABC的中线，则AD=CD. 延长BD至点E，使DE=BD=x. 在△ADE和△CDB中， ∴△ADE≌△CDB（SAS）.∴AE=BC=9. ∵在△BAE中，AB=5，AE－AB＜BE＜AB+AE， ∴9－5＜BE＜9+5.∴4＜2x＜14. ∴2＜x＜7. 【变式