2024年中考数学复习题型突破讲义：遇到角平分线如何添加辅助线

遇到角平分线如何添加辅助线 类型1 作垂线，构造全等三角形 例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=13，AC=12，则点D到AB的距离为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为点E，若DE＝1，则BC的长为(　　) A．2＋ B.＋ C．2＋ D．3 【模型归纳】 当已知条件中出现OP为∠AOB角平分线，PM⊥OA于点M时，辅助线的作法大都为过点P 做PN⊥OB于点N. 结论：PM=_____, Rt△OMP≌_____. 类型2 作平行线，构造等腰三角形 例2 如图，∠AOB=30°，OD平分∠AOB，DC⊥OA于点C，DC=4，则线段OC的长为（ ） A．4 B．4+4 C．8 D．8+4 【变式2】如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．14 【模型归纳】 当已知条件中出现OP为∠AOB角平分线，点P为角平分线上任一点时，辅助线的做法大部分为过点P作PM∥OB或PM∥OA. 结论： △OMP为____三角形. 类型3 利用三线合一，构造等腰三角形 例3 如图，已知△ABC，CD是∠ACB的平分线，AD⊥CD于点D，DE∥BC交AB于点E，求证：EA=EB. 【变式3】如图，已知∠BAC=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD延长线于点E，若CE=3，则BD=____. 【模型归纳】 当已知条件中出现OP为∠AOB角平分线，PM⊥OP于点P时,辅助线的做法大都为延长MP交OB于点N. 结论： △OMN为____三角形， MP=____，OP____MN， Rt△OMP≌_____. 类型4 作等线段，构造对称图形 例4 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，CD平分∠ACB交AB于点D，若BD=4，BC=9，则AC的长为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 【变式4】如图，已知AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB和∠CBA，点E在CD上，求证：AB=AD+BC. 【模型归纳】 当已知条件中出现OP为∠AOB角平分线，PM不具备特殊位置条件时，辅助线的做法大部分为在OB上截取ON=OM，连接PN. 结论：△OMP≌△ONP. 类型5 双角分线模型 例5 △ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等.∠A=40°，则∠BOC的度数为（ ） A． B． C． D． 【变式5】如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠BAC=_____，∠CAP=_____. 【模型归纳】 双内（BD平分∠ABC，CD平分∠ACB）： 结论： 一内一外（BD平分∠ABC，CD平分∠ACE）： 结论： 双外（BD平分∠ABC的外角，CD平分∠ACB的外角）： 结论： 例1.C 【解析】在Rt中，，， 由勾股定理，得. 如图，过点作于点. ，平分，，即点到的距离为. 【变式1】A 【解析】过点作于点，如图. 为的平分线，且，. 在Rt中，，. 在Rt中，，为等腰直角三角形. 由勾股定理,得.. 【模型归纳】PN Rt△ONP 例2.D 【解析】如图，过点D作DF∥OB交OA于点F ∵OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠BOD=∠AOB=15°. ∵DF∥OB，∴∠BOD＝∠ODF.∴∠AOD＝∠ODF. ∴OF＝DF，∠DFC=30°. ∵DC⊥OA，DC=4，∴DF＝2CD＝8，CF=. ∴OF＝DF＝8．∴OC=OF+CF=8+. 【变式2】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，DC=AB=6，AD=BC.∴∠AFB=∠FBC. ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC.∴∠ABF=∠AFB.∴AF=AB=6. 同理可证：DE=DC=6. ∵EF=AF+DE-AD=2，即6+6-AD=2.解得AD=10. ∴BC=10. 【模型归纳】等腰 例3.证明：如图，延长AD交BC于点F. ∵CD是∠ACB的平分线，AD⊥CD于点D， ∴∠ADC=∠FDC=90°，∠ACD=∠FCD. 在△ACD与△FCD中， ∴△ACD≌△FCD（ASA）.∴AD=DF. ∵DE∥BC，∴=1.∴EA=EB． 【变式3】6 【解析】如图，延长与的延长线相交于点F. ∵，∴. 在和中，， ∴