北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题

人大附中20232024学年度第一学期高二年级数学期中练习 2023年11月3日 制卷人：吴文庆 审卷人：梁丽平杨良庆 说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟 第I卷（共18题，满分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 1. 已知平面平面，直线，直线，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 平行或异面 C. 异面 D. 异面或相交 2. 已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）. A. B. C. D. 3. 一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则下列说法错误的是（ ） A. 若分别是直线的方向向量，则所成角余弦值是 B. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角正弦值是 C. 若分别是平面ABC、平面BCD的法向量，则二面角的余弦值是 D. 若分别是直线l的方向向量与平面的法向量，则l与所成角余弦值是. 5. 一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切，过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面图形是 A B. C. D. 6. 如图，平行六面体的底面是矩形，其中，，，且，则线段的长为（ ） A. 9 B. C. D. 7. 如图，已知大小为的二面角棱上有两点A，B，，，若，则AB的长度（ ） A. 22 B. 40 C. D. 8. 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来.若正四棱柱的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器（容器壁的厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为 A. 41π B. 42π C. 43π D. 44π 9. 如图，是棱长为的正方体，是棱长为的正四面体，底面,在同一个平面内，，则正方体中过且与平面平行的截面面积是 A. B. C D. 10. 《九章算术·商功》中有这样一段话：“斜解立方，得两壍堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是：如图，沿正方体对角面截正方体可得两个壍堵，再沿平面截壍堵可得一个阳马（四棱锥），一个鳖臑（三个棱锥），若为线段上一动点，平面过点，平面，设正方体棱长为，，与图中鳖臑截面面积为，则点从点移动到点的过程中，关于的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把结果填在答题纸上的相应位置.） 11. 已知正方形的边长为2，则_________. 12. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则此圆锥的表面积为________. 13. 平面与平面垂直判定定理符号语言为：____________________. 14. 在移动通信中，总是有很多用户希望能够同享一个发射媒介，进行无线通信，这种通信方式称为多址通信.多址通信的理论基础是：若用户之间的信号可以做到正交，这些用户就可以同享一个发射媒介.在n维空间中，正交的定义是两个n维向量满足.已知某通信方式中用户的信号是4维非平行向量，有四个用户同享一个发射媒介，已知前三个用户的信号向量为.写出一个满足条件的第四个用户的信号向量__________. 15. 一个三棱锥的三个侧面中有一个是边长为2的正三角形，另两个是等腰直角三角形，则该三棱锥的体积可能为__________. 三、解答题（本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置.） 16. 已知空间直角坐标系中四个点的坐标分别为：. （1）求； （2）若，求x值； （3）若D点在平面ABC上，直接写出x值. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 18. 如图所标，已知四棱锥中，ABCD是直角梯形，，平面平面，. （1）证明：平面； （2）求B到平面的距离； （3）求二面角的余弦值. 第Ⅱ卷（共8道题，满分50分） 一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置.） 19. 关于空间中的角，下列说法中正确的个数是（ ） ①空间中两条直线所成角的取值范围是 ②空