精品解析：上海交通大学附属中学2024届高三上学期期中数学试题

上海交通大学附属中学2023-2024学年度第一学期 高三数学期中测试卷 （本试卷满分150分，120分钟完成，答案一律写在答题纸上） 命题：杨逸峰 审核：侯磊 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知，则______． 2. 等差数列的前n项和为，若，，则公差______． 3. 复数，（a、），若它们的和为实数，差为纯虚数，则______． 4. 已知，，与的夹角为，若向量与的夹角是锐角，则实数的取值范围是：______． 5. 已知，函数的定义域为．若为奇函数，则的严格增区间为______． 6. 已知（是的导函数），则______． 7. 有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1） 8. 已知直角坐标平面内有三个定点，，，动点满足．若，则点横坐标的取值范围是______． 9. 过抛物线的焦点F作直线，交抛物线于A，B两点，若|FA|＝3|FB|，则直线的倾斜角为___________． 10. 若不等式的解集中仅有2个整数，则实数k的取值范围是______． 11. 记边长为1的正六边形的六个顶点分别为、、、、、，集合，在中任取两个元素、，则的概率为________ 12. 已知、、为空间中三个单位向量，且、、与夹角为，点P为空间一点，满足且，则最大值为______． 二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. “”是“的二项展开式中存在常数项”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 14. 若且a、b均不为1，，则（ ） A. B. C. D. 15. 等比数列的前n项和为，，，则（ ） A. B. C. D. 2 16. 已知点在函数的图像上，若过点A的切线与函数的图像有n个公共点（含切点），称a是的“n关键点”．研究归纳得到了下面的命题： ①全体“1关键点”构成的集合是． ②集合中的元素都是2关键点． ③若是“关键点”，则也是“关键点” ④若，则一定是“关键点”．（其中表示不超过x的最大整数） 其中，真命题个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 为了监控某种零件一条生产线的生产过程，检验员每隔30分钟从该生产线上随机抽取一个零件并测量其尺寸（单位：毫米）下表是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 995 101.2 99.6 99.5 100.1 99.2 99.8 100.4 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 102.6 991 101.3 100.2 98.2 100.4 100.5 99.5 （1）绘制此次抽样测量的零件尺寸茎叶图； （2）监控手册规定，如果抽样的产品的尺寸均落在区间中，则判定当日产品全部合格；否则需从当日的全部产品中重新抽取16件产品进行检验，根据检验员抽样测量的数据，计算抽样零件的平均数与标准差s．并根据监控手册判断当日检验员是否需要重新检验?（所有答案均按四舍五入精确到0.001毫米） 18. 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且. （1）求角A的大小; （2）若 ，求b和c的值. 19. 高三新教学楼启用后，从一些教室窗口就能看到殷高路对面居民房平改坡后的屋顶（如图）．其中是屋脊线，是屋檐线，是屋顶坡面，是一个与水平面垂直的带气窗的竖直面，是气窗屋顶的屋脊线且与竖直面垂直． 小张和小王对屋顶进行研究，提出了下面一些假设： ①两条屋脊线与互相垂直且都与水平面平行； ②气窗屋顶的两个坡面与互相垂直且与水平面的所成角相等； ③屋顶坡面与水平面所成角为． （1）小张认为还需假设屋脊线与带气窗的竖直面是平行关系．而小李认为前面的假设已经够了，不需要再提出这个假设．请你判断哪位同学正确？证明你的判断． （2）根据小张和小王的假设，试求气窗屋顶的一个坡面与屋顶坡面构成的阴脊线（是平面与平面的交线）与水平面所成角的大小．（用反三角函数表示） 20. 在平面直角坐标系中，已知， ，动点满足，动点的轨迹记为. （1）求曲线的方程； （2）若点也在曲线上，且，求的面积； （3）是否存在常数，使得对动点恒有成立？请给出你的结论和理由. 21.