专题18 全等与相似模型之十字模型-2024年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（全国通用）

专题18 全等与相似模型之十字模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生更好地理解和掌握。 模型1.正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形。 1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；则 AE=BF。 2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；则 AE=GF。 3）如图3，在正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF；则 HE=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直. 例1．（22·23下·广东·课时练习）如图，将一边长为12的正方形纸片的顶点A折叠至边上的点E，使，若折痕为，则的长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 例2．（2023年辽宁省丹东市中考数学真题）如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，与相交于点G，若，则的长为 ． 例3．（2023安徽省芜湖市九年级期中）如图，正方形中，点E、F、H分别是的中点，交于G，连接．下列结论：①；②；③；④．正确的有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例4．（广西2022-2023学年九年级月考）（1）感知：如图①，在正方形ABCD中，E为边AB上一点（点E不与点AB重合），连接DE，过点A作，交BC于点F，证明：． （2）探究：如图②，在正方形ABCD中，E，F分别为边AB，CD上的点（点E，F不与正方形的顶点重合），连接EF，作EF的垂线分别交边AD，BC于点G，H，垂足为O．若E为AB中点，，，求GH的长．（3）应用：如图③，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，，BF，AE相交于点G．若，图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则的面积为______，的周长为______． 模型2.矩形的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系。 如图1，在矩形ABCD中，若E是AB上的点，且DE⊥AC，则. 如图2，在矩形ABCD中，若E、F分别是AB、CD上的点，且EF⊥AC，则. 如图3，在矩形ABCD中，若E、F、M、N分别是AB、CD、AD、BC上的点，且EF⊥MN，则. 例1．（22·23下·广西·九年级期中）如图，把边长为，且的平行四边形对折，使点和重合，求折痕的长． 例2．（22·23下·河北·九年级期中）如图，在矩形中，、、、分别为、、、边上的点，当时，证明：． 例3．（22-23·贵港·中考真题）已知：在矩形中，，，是边上的一个动点，将矩形折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．（1）如图1，当点与点重合时，则线段_______________，_____________；（2）如图2，当点与点，均不重合时，取的中点，连接并延长与的延长线交于点，连接，，．①求证：四边形是平行四边形：②当时，求四边形的面积． 例4．（2022年四川乐山中考数学适应性试卷）解答(1)如图1，矩形ABCD中，EF⊥GH，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H．求证：；(2)如图2，在满足（1）的条件下，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；(3)如图3四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝10，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，，求的值． 模型3.三角形的十字架模型（全等+相似模型） 1）等边三角形中的斜十字模型（全等+相似）： 如图1，已知等边△ABC，BD=EC（或CD=AE），则AD=BE，且AD和BE夹角为60°，△ABC。 2）等腰直角三角形中的十字模型（全等+相似）： 如图2，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，①D为BC中点，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七个结论中，可“知二得五”。 3）直角三角形中的十字模型： 如图3，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，D为BC中点，BF⊥AD，则AF：FC=2：k2，（相似） 例1.（22-23.成都市.八年级期中）如图，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且BD＝CE，AD与BE相交于点P．下列结论：①AE＝CD；②AP＝BE；③∠PA