上海市行知中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市行知中学2023学年第一学期期中考试 高三年级数学学科试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 1. 已知全集，集合，则＝_____． 2. 不等式的解集为___________. 3. 圆的过点的切线方程为___________. 4. 某篮球队在本赛季已结束的场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下，则甲在比赛中得分的方差为________. 5. 已知复数满足（虚数单位），则__________． 6. 若，则_______. 7. 已知正数a、2b的算术平均值是2，则a、b的几何平均值的最大值为______. 8. 若复数满足，则的最小值为______. 9. 已知函数在有且仅有5个零点，则实数的取值范围是___________． 10. 把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里的球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是_________（用数字作答） 11. 记数列前项和为，，下列三个命题中错误的序号有_________． ①若（非零常数满足，），则数列为等比数列； ②若数列为等比数列，则，，，…仍为等比数列； ③为严格递增数列是为严格递增数列的必要非充分条件． 12. 已知平面向量，，满足，，则的最小值为______. 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 13. 下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. D. 14. 存在两个事件A和B，且，，若A与B是两个①事件，则；若A与B是两个②事件，则；其中（ ） A （1）互斥（2）独立 B. （1）互斥（2）对立 C. （1）独立（2）互斥 D. （1）对立（2）互斥 15. 在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（　　　　） A. 重心 B. 外心 C. 内心 D. 垂心 16. 定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 如图，正直三棱柱中，，，是的中点，是的中点. （1）判断直线与直线的位置关系并证明； （2）求直线与平面所成的角的大小. 18. 已知函数. （1）求的最大值及取得最大值时的值； （2）在中，内角所对应的边为，若，成等差数列，且，求的值. 19. 第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障.某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作.先随即抽取了100名候选者的面试成绩，并分成组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）现规定分数排名前40%可以加入资深志愿者组，估计资深志愿者组的录取分数约为多少？（精确到0.1） （2）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率； （3）已知第四组的平均成绩为80，方差为20，第五组的平均成绩为90，方差为5，则75分以上的志愿者的平均成绩和方差为多少？ 20. 曲线，第一象限内点在上，的纵坐标为. （1）若到准线距离3，求； （2）设为坐标原点，，，为上异于的两点，且直线与斜率乘积为4.证明：直线过定点； （3）直线，令是第一象限上异于的一点，直线交于，是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围. 21. 设． （1）证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且； （2）求所有的实数，使得直线与函数的图象相切； （3）设（其中由（1）给出），且，，求的最大值． 上海市行知中学2023学年第一学期期中考试 高三年级数学学科试卷 一、填空题（共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】#### 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】15 【11题答案】 【答案】②③ 【12题答案】 【答案】## 二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】D 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 【17题答案】 【答案】（1）直线与直线异面且相互垂直，证明见解析； （2）. 【18题