上海外国语大学附属外国语学校2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海外国语大学附属外国语学校 2023学年第一学期高三年级期中考试 数学试卷 考生注意：本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1. 已知集合，，则________． 2. 已知复数z满足（为虚数单位），则________． 3. 抛物线的焦点坐标是______. 4. 某大型企业共有职工1500人，其中高级职称150人，中级职称450人，初级职称900人．现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的中级职称的人数为________． 5. 长、宽、高分别为5、4、3的长方体的外接球的表面积是________． 6. 在某道选词填空题中，共有4个空格、5个不同的备选单词，其中每个空格只有一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），若随机从备选单词中选4个不同的单词分别填入空格中，则恰答对3个空格的概率是________． 7. 设正数满足，则的最小值为__________． 8. 在等比数列中，，分别是函数的两个驻点，则________. 9. 若方程有且只有一个实根，则实数b的取值范围为________． 10. 已知，若存在使得，则k的最大值为________． 11. 若关于x的方程在区间上至少有两个不同的实根，则实数a的取值范围是________． 12. 已知A，M，N是棱长为1的正方体表面上不同的三点，则的取值范围是________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13. 已知a，b，，则“”一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 14. 若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数a为（ ） A 1 B. C. D. 15. 若函数的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的定义域不可能是（ ） A. B. C. D. R 16. 已知，有限数列，，…，的前k项和为，且对一切都成立，给出下列两个命题：①，，…，不可能是等差数列；②，，…，有可能是等比数列．则（ ） A. ①真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①②都是真命题 D. ①②都是假命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 已知且，函数，．对任意，恒成立，且． （1）求实数b，c的值． （2）若在上是严格增函数，求实数a的取值范围． 18. 如图，在四棱锥中，平面平面PAD，，，正三角形PAD的边长为2． （1）求证：平面PAD； （2）若，，求平面PAD与平面PBC所成的锐二面角的大小. 19. 某盲盒抽奖活动中，主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖．已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示． 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 20 10 米色内饰 15 5 （1）从这50个模型中随机取一个，用A表示事件“取出模型外观为红色”，用B表示事件“取出的模型内饰为米色”，求和，并判断事件A与B是否相互独立； （2）活动规定在一次抽奖中，每人可以一次性拿两个盲盒，对其中的模型给出以下假设： 假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色； 假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高； 假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖300元，二等奖200元、三等奖100元； 请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布并求出X的期望（精确到元）． 20. 已知椭圆：中，A为的上顶点，P为上异于上、下顶点的动点，为x轴上的动点． （1）若，求点P的纵坐标； （2）设，若是直角三角形，求的值； （3）若，是否存在以AM，AP为邻边的平行四边形MAPQ，使得点Q在上？若存在，求出此时点P的纵坐标；若不存在，说明理由． 21. 已知正整数，函数． （1）若，，，，在上严格增，求实数t最小值； （2）若，，，，在处有极值，函数有3个不同的零点，求实数m的取值范围； （3）若函数的导函数恰有个零点（，2，…，k），满足，求证：在上严格增． 上海外国语大学附属外国语学校 2023学年第一学期高三年级期中考试 数学试卷 考生注意：本场考试时间120分钟．试卷共4页，满分150分，答题纸共2页． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 【1题答案】 【答案】 【2题答案】