专题1-1 基本不等式归类（16题型+解题攻略）-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

专题1-1 基本不等式归类 目录 题型01 公式基础 1 题型02 基础模型：倒数型 2 题型03 常数代换型 3 题型04 积与和型 4 题型05 积与和互化解不等式型 4 题型06 构造分母和定型 5 题型07 凑配系数构造分母和定型 5 题型08 换元构造分母和定型 6 题型09 分子与分母互消型 7 题型10 “1”代换综合型 7 题型11 分子消去型 8 题型12 消元型 8 题型13 齐次化构造型 9 题型14 三角换元构造型 9 题型15 因式分解双换元型 10 题型16 配方型 11 高考练场 11 题型01 公式基础 【解题攻略】 利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【典例1-1】（2020·广东·普宁市第二中学高三阶段练习）下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2021秋·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）对于任意a，b∈R，下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】（2021·高三阶段测试）下列说法不正确的是（    ） A．x＋(x>0)的最小值是2 B．的最小值是2 C．的最小值是 D．若x>0，则2－3x－的最大值是2－4 【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（    ） A．若，则 B．若x＞0，y＞0，则 C．若x＜0，则 D．若x＜0，则 【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是的是（    ） A． B． C． D． 题型02 基础模型：倒数型 【解题攻略】 倒数型： ，或者 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如， 【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知的面积为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若(x,)最大值记为,则的最小值为 A．0 B． C． D． 题型03 常数代换型 【解题攻略】 利用常数代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。多称之为“1”的代换 （1） 条件和结论有“分子分母”特征； （2）可以乘积出现对构型，再用均值不等式。注意取等条件 结构形式： （1）求 （2）求 【典例1-1】（2023·江西·校联考一模）已知，，是正实数，且，则最小值为 . 【典例1-2】（2019上·山东潍坊·寿光现代中学校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（    ） A．10 B．11 C．13 D．21 【变式1-1】（2023上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）已知，，，则的最小值为 ． 【变式1-2】（2023下·湖南株洲·统考）设正实数满足，则的最小值为 . 【变式1-3】（2023上·上海松江·高三校考）已知，，且，则取得最小值时的值是 . 题型04 积与和型 【解题攻略】 积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。 形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解 【典例1-1】（2021·全国·高三测试）已知，，且，则当取得最小值时，（       ） A．16 B．6 C．18 D．12 【典例1-2】（2021·湖南岳阳·高三联考）已知，，且，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【变式1-1】(2020·重庆市暨华中学校高三阶段）已知，且，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2021·山东威海·高三校考）若，且，则的最小值为（       ） A．18 B．15 C．20 D．13 【变式1-3】（2022·全国·高三一专题练习）已知，，，则的最小值为（       ） A．2 B．3 C． D． 题型05 积与和互化解不等式型 【