上海市进才中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

上海市进才中学2023学年第一学期期中考试 高三数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有14题，1~2每小题4分，7~12每小题5分） 1 集合，集合，则______. 2. 不等式 的解集是__________． 3. 已知是虚数单位，是关于的方程的一个根，则______. 4. 已知函数，则函数值域为________． 5. 在的展开式中，的系数为______． 6. 《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为________． 7. 已知，是两两垂直的单位向量，则________． 8. 在数列中，，，若对于任意，恒成立，则实数的最小值为______． 9. 已知圆与圆外切，点P是圆C上一动点，则点P到直线距离的最大值为________ 10. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且，，则五面体的表面积为________． 11. 已知，是函数的两个零点，且，当时，最小值与最大值之和为________． 12. 已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上，则此正方形的面积为__． 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每小题4分，15-16每小题5分） 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 已知偶函数的定义域为，且在上为增函数，则（ ） ①；②；③；④在上为减函数． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 15. 关于函数，给出下列两个结论： ①方程一定有实数解； ②如果方程（为常数）有解，则解的个数一定是偶数. 则（ ） A. ①正确，②正确 B. ①错误，②错误 C. ①正确，②错误 D. ①错误，②正确 16. 斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用.斐波那契数列满足，.给出下列四个结论： ① 存在，使得，，成等差数列； ② 存在，使得，，成等比数列； ③ 存在常数，使得对任意，都有，，成等差数列； ④ 存在正整数，且，使得. 其中所有正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题（本题满分76分，共有5小题） 17. 三棱台中，若面，分别是中点. （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 18. 锐角的内角，，的对边分别为，，，设. （1）求证：内角； （2）若，求的面积的最大值． 19. 某学习平台中“挑战答题”积分规则如下：选手每天可参加一局“挑战答题”活动．每局中选手需依次回答若干问题，当累计回答正确3道题时，答题活动停止，选手获得10个积分；或者当累计回答错误2道题时，答题活动停止，选手获得8个积分．假定选手甲正确回答每一道题概率均为． （1）甲完成一局“挑战答题”活动时回答的题数记为，求的分布列； （2）若，记为“甲连续9天参加‘挑战答题’活动获得的积分”，求． 20. 双曲线的离心率为，圆与轴正半轴交于点，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）过点作圆的切线交双曲线于两点、，试求的长度； （3）设圆上任意一点处的切线交双曲线于两点、，试判断是否为定值?若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 21. 已知. （1）求函数的极小值； （2）当时，求证:； （3）设，记函数在区间上的最大值为，当最小时，求a的值. 上海市进才中学2023学年第一学期期中考试 高三数学试卷 一、填空题（本题满分54分，共有14题，1~2每小题4分，7~12每小题5分） 【1题答案】 【答案】## 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】4 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】10或17 二、选择题（本题满分18分，共有4题，13-14每小题4分，15-16每小题5分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（本题满分76分，共有5小题） 【17题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【18题答案】 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1）分布列见解析 （2） 【20题答案】