函数与导数专题训练(不等式恒成立中的同构转化)-2024届高三数学一轮复习

高三数学函数与导数专题：不等式恒成立中的同构转化 1．若，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 2．已知函数，若对任意恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数． (1)若，求a的取值范围；(2)证明：若有两个零点，则． 4．设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（    ） A． B．C． D． 5．已知函数 （1）若，求函数的单调区间； （2）设，若对任意，恒有，求a的取值范围. 6．已知函数，. (1)令，求的最小值； (2)若对任意，且，有恒成立，求实数m的取值范围. 7．已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若对、且，都有成立，求实数k的取值范围. 函数与导数专题：不等式恒成立中的同构转化答案和解析 1．【答案】【详解】设，则，所以在上单调递增，由已知得，因为，，，所以，，，所以在上单调递增，，由在单调递增，得到， 所以，因为，所以，令， 则，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以. 2．【答案】C【详解】 记.因为，所以当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以，即，所以 .等号成立的条件是，即有解.令，则，解得：.当时，，单减；当时，，单增.故，即a的最小值为故选：C. 3．【详解】（1）[方法一]：常规求导的定义域为，则令,得当单调递减.当单调递增， 若,则,即所以的取值范围为 [方法二]：同构处理 由得：令，则即 令，则故在区间上是增函数 故，即所以的取值范围为 （2）[方法一]：构造函数由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设 要证,即证因为,即证又因为,故只需证即证 即证下面证明时， 设，则 设所以,而所以,所以所以在单调递增即,所以令 所以在单调递减 即,所以；综上, ,所以. [方法二]：对数平均不等式由题意得：令，则，所以在上单调递增，故只有1个解 又因为有两个零点，故 两边取对数得：，即 又因为，故，即下证 因为不妨设，则只需证构造，则 故在上单调递减，故，即得证 【点睛】关键点点睛 ：本题是极值点偏移问题，关键点是通过分析法，构造函数证明不等式这个函数经常出现，需要掌握 4．【答案】B【详解】对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故. 5．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【详解】解：（1）当时，由已知得，所以，令得，即时，；时，；故单调递增区间为，单调递减区间为； （2），由得，所以在单调递减， 设从而对任意，恒有，即， 令，则等价于在单调递减，即恒成立，从而恒成立，故设，则 ，当时，为减函数， 时，，为增函数.∴,∴a的取值范围为. 6.【答案】(1)；(2). 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴，∴由得，由得，∴在为减函数，在上为增函数，∴. （2）因为对任意，且，有恒成立， 所以令，则在上为增函数， ∴，∵，∴，即，所以. 7．【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由条件，可知函数的定义域为， 所以，，可得，解得. （2）解：对、，，都有，不妨设，由，则，可， 也即可得函数在区间上递增；对任意的恒成立，即，当时，，故，解得. 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$