2.2 充分条件、必要条件、充要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第2章 常用逻辑用语 数学 (SJ) · 高中·必修一 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 一、命题真假与推出关系 命题真假 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 文字表述 由p可以推出q成立 由p不能推出q成立 符号表示 _____ ______ 读法 p推出q p不能推出q 传递性 如果 p ⇒ q，q ⇒ s，那么 _______ p ⇒ q p ⇏ q p ⇒ s 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 例如： (1) x＝y ⇒ x2＝y2，但 x2＝y2 ⇏ x＝y； (2) x＞1 ⇒ x2＞1，但 x2＞1 ⇏ x＞1； 这里，“x＞1”表示“x是大于1的实数”；“S△ABC”表示“△ABC的面积”. (3) △ABC ≌ △A′B′C′ ⇒ S△ABC＝ S△A′B′C′， 但 S△ABC ＝ S△A′B′C′ ⇏ △ABC ≌ △A′B′C′. 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 ● 如果“p＝q”，那么 p，q 之间有怎样的关系? 分析(1)(2)(3)，可以发现，“p ⇒ q”的含义是：一旦 p 成立，q 一定也成立. 即 p 对 q 的成立是充分的. 也可以这样说：如果 q 不成立，那么力一定不成立.即g 对的成立是必要的. 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 二、充分条件、必要条件 推出关系 p ⇒ q 条件关系 p是q的__________条件， q是p的__________条件. 充分 必要 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 例 1 下列所给的各组 p，q中，p 是 q 的充分条件的有哪些? 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. (1) p：x＝2，q：x2－x－2＝0； (2) p：四边形的对角线相等，q：四边形是正方形. 解：因为p ⇏ q，所以 p 不是 q 的充分条件. 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分. 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. 解：因为p ⇒ q，所以 p 是 q 的充分条件. 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 例 2 下列所给的各组 p，q 中，p 是 q 的必要条件的有哪些? (1) p：∣x∣＝1，q：x＝1； (2) p：两个直角三角形全等， q：两个直角三角形的斜边相等； 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q ⇏ p，所以 p 不是 q 的必要条件. 课本 第 页 29 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 (3) p：同位角相等，q：两条直线平行； (4) p：四边形是平行四边形， q：四边形的对角线互相平分 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 解：因为 q ⇒ p，所以 p 是 q 的必要条件. 课本 第 页 30 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 观察例1 (3) 和 例2 (3)、例1 (4) 和 例2 (4)，可以发现，其中既有 p ⇒ q，也有q ⇒ p. 课本 第 页 30 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 三、充要条件 定 义 推出关系 p⇒q，且 q⇒p，记作_______称为“p与q等价”或“p等价于q”. 条件关系 p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件 p⇔q 课本 第 页 30 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 本 质 p是q的充分必要条件，也常说成p成立当且仅当q成立. 应 用 充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从不同的角度来理解、刻画很多数学内容. 课本 第 页 30 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 “⇒”和“⇔”都具有传递性，即 如果 p ⇒ q，q ⇒ s，那么 p ⇒ s； 如果 p ⇔ q，q ⇔ s，那么 p ⇔ s. 课本 第 页 30 2 . 2 充分条件、必要条件、充要条件 【思考】 命题按条件和结论的充分性、必要性可分哪几类? 提示：① 充分必要条件(充要条件)，即 p⇒q且q⇒p. ② 充分不必要条件，即p⇒q且q⇏p. ③ 必要不充分条件，即p⇏q且q⇒p. ④ 既不充分又不必要条件，即p⇏q且q⇏p.