精品解析：上海师范大学第二附属中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题

2021学年第一学期上海师大二附中期中考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. “点在平面上”，用集合语言表示可写为________. 2. 正方体的12条棱中，与AB异面的棱有________条． 3. 若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为___________. 4. 在长方体中，，，，那么到平面的距离为______. 5. 在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角_____. 6. 已知球的表面积是，则该球的体积为________. 7. 圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥母线与底面所成角为___________.（用反三角表示） 8. 在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是________. 9. 已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且它们的长度分别为1，1，，则此三棱锥的高为_________． 10. 已知长度为10cm的线段与平面相交，且线段两端到平面的距离分别为和，则此线段在平面上的射影长为___________. 11. 如图所示五面体的形状就是《九章算术》中所述“羡除”其中，“羡除”形似“楔体”．“广”是指“羡除”的三条平行侧棱之长a，b，c、“深”是指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离m、“袤”是指这两条侧棱所在平行直线之间的距离n．已知，则此“羡除”的体积为____________． 12. 在棱长为的正方体中，分别是棱上的动点，且，则三棱锥的体积的最大值为_______． 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 以下说法正确是（ ） A. 各侧面都是矩形的棱柱是长方体 B. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱 C. 各侧面都是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥 D. 底面四条边相等的直棱柱是正四棱柱 14. 已知异面直线a、b所成角为，P为空间一定点，则过P点且与a、b所成角都是的直线有且仅有（ ）条． A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 15. 古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ） A. B. C. π D. 16. 如图，正四棱柱满足，点E在线段上移动，F点在线段上移动，并且满足.则下列结论中正确的是（ ） A. 直线与直线可能异面 B. 直线与直线所成角随着E点位置的变化而变化 C. 三角形可能是钝角三角形 D. 四棱锥体积保持不变 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 在直三棱柱中，，. （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求直线与平面所成角 18. 如图所示，在正三棱锥中，为棱的中点. （1）求证：； （2）若，且点到底面的距离为，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）. 19. 某企业要设计一款由同底等高的圆柱和圆锥组成的油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度与圆柱的底面半径相等，均为10m. （1）已知制作这种油罐材料单价为1万元/m2，则制作一个油罐所需费用为多少万元？（取3.14，结果精确到0.01万元） （2）已知该油罐的储油量为0.95吨/m3，则一个油罐可储存多少吨油？（取3.14，结果精确到0.01吨） 20. 如图，已知点在圆柱的底面圆上，，圆的直径，圆柱的高. （1）求点到平面的距离； （2）求二面角的余弦值大小. 21. 如图，长方体中中，，点P为面对角线上的动点（不包括端点），PN⊥BD于N. （1）若点P是的中点，求线段PN的长度； （2）设，将PN表示为的函数，并写出定义域； （3）当PN最小时，求直线PN与平面ABCD所成角的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2021学年第一学期上海师大二附中期中考试高二数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. “点在平面上”，用集合语言表示可写为________. 【答案】 【解析】 【分析】点是元素，平面是集合，由集合元素与集合的关系表示即可. 【详解】由于点是元素，平面是集合，所以由题意知， 故答案： 2. 正方体的12条棱中，与AB异面的棱有_