专题07 平面向量（3大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题07 平面向量 易错点一：注意零向量书写及三角形与平行四边形适用前提（平面向量线性运算） 1．向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一的一个实数，使得. 共线向量定理的主要应用： (1)证明向量共线：对于非零向量，，若存在实数，使，则与共线． (2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线． (3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值． 平面向量线性运算问题的求解策略： (1)进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来． (2)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用． (3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果. 解决向量的概念问题应关注以下七点： (1)正确理解向量的相关概念及其含义是解题的关键． (2)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性． (3)共线向量即平行向量，它们均与起点无关． (4)相等向量不仅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量未必是相等向量． (5)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈． (6)非零向量与的关系：是方向上的单位向量． (7)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小 易错提醒：（1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，. 例 ．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算正确的是（    ）      A． B． C． D． 变式1：给出下列命题，其中正确的命题为（　　） A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段 B．若，则可知 C．若Q为的重心，则 D．非零向量，，满足与，与，与都是共面向量，则，，必共面 变式2：如图所示，在平行四边形ABCD中，，，．    (1)试用向量来表示; (2)AM交DN于O点，求的值． 变式3：如图所示，在矩形中，，，设，，，求.    1．已知、为不共线的向量，，，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 2．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．在四边形中，若，则（    ） A．四边形是平行四边形 B．四边形是矩形 C．四边形是菱形 D．四边形是正方形 4．已知分别为的边上的中线，设，,则＝（    ）    A．＋ B．＋ C． D．＋ 5．如果是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（　　） ①可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量，使的实数对有无穷多个； ③若向量与共线，则 ④若实数λ、μ使得，则λ＝μ＝0. A．①② B．②③ C．③④ D．② 6．给出下列各式：①，②，③，④，对这些式子进行化简，则其化简结果为的式子的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（