上海市杨浦高级中学2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试卷

2023杨浦高级中学高三上期中－11月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 不等式的解集是______. 2. 的展开式中，的系数为___________.(用数字作答) 3. 设为首项为3，公比为2的等比数列，记的前项和为，则______. 4. 在平面直角坐标系中，角的终边经过点，则____． 5. 若复数是一个根，则_____. 6. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙至少一人入选的概率为____． 7. 在平面直角坐标系中，以抛物线的焦点为圆心且与直线相切的圆的面积为______. 8. 若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是__________. 9. 正三棱锥的四个顶点同在一个半径为2的球面上，若正三棱锥的侧棱长为，则正三棱锥的底面边长是__． 10. 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________． 11. 如图，D是等边内的动点，四边形是平行四边形，．当取得最大值时，__________． 12. 已知，是双曲线的左､右焦点，P为曲线上一点，，的外接圆半径是内切圆半径的4倍.若该双曲线的离心率为e，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 若，，则是事件A与事件B相互独立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 下列函数中，在定义域内不是奇函数是（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示是中国年汽车进、出口统计图，则下列结论错误的是（ ） A. 从年开始中国汽车出口量大于进口量 B. 年中国汽车进口量的极差约为万辆 C. 年中国汽车进口量的标准差约为万辆 D. 年中国汽车出口量的第百分位数是万辆 16. 若，令，则关于结论：①M可以等于0；②M可以等于2.下面正确的判断是（ ） A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 三、解答题（满分78分，共有5题）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 17. 已知向量，其中，若函数的最小正周期为. （1）求的单调增区间； （2）在中，若，求的值. 18. 已知定义域为R的函数是奇函数. （1）求的值； （2）若存在，使成立，求的取值范围. 19. 如图，在四棱锥中，，，，，． （1）当时，求直线与平面所成角的大小； （2）当二面角为时，求平面与平面所成二面角的正弦值． 20. 在平面直角坐标系xOy中，已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆C的右焦点为，且离心率，过点且斜率为的直线l交椭圆C于点A，B两点，D为AB的中点，过作直线l的垂线，直线OD与直线m相交于点 （1）求椭圆C的标准方程； （2）证明：点P一条定直线上； （3）当最大时，求面积． 21. 设函数. （1）求函数在点处切线方程; （2）证明:对每个，存在唯一的，满足； （3）证明:对于任意，由（2）中构成的数列满足. 2023杨浦高级中学高三上期中－11月 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】5 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】##0.9 【7题答案】 【答案】 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】3 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】0 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】C 三、解答题（满分78分，共有5题）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要的步骤. 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1） （2）证明见解