上海市大同中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

2023学年第一学期期中考试试卷 高三数学 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 函数的定义域为______． 2. 已知集合，，则______． 3. 的二项展开式中项的系数是______． 4. 已知向量，，若，则值为______． 5. 已知复数z满足（i为虚数单位），则复数z的模等于______． 6. 以下数据为某校参加数学竞赛的19人的成绩：66，75，77，69，78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，82，98，83，90，91，则这19人成绩的第80百分位数是______． 7. 在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与以点O为圆心的单位圆交于点，则的值为______． 8. 在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为______． 9. 已知的三边长之比为5∶6∶9，记的三个内角的正切值所组成的集合为M，则集合M中的最大元素为______． 10. 已知A，B是平面内两个定点，且，点集.若M，，则向量、夹角的余弦值的取值范围是______． 11. 已知函数的部分图像如图所示，若，不等式的解集为______． 12. 若曲线上恰有两个点到直线的距离为1，则实数a的取值范围是______． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 13. 已知直线：，：，则“”是“”（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 若函数是偶函数，则对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 15. 一个封闭的圆台容器（容器壁厚度忽略不计）的上底面半径为2，下底面半径为12，母线与底面所成的角为．在圆台容器内放置一个可以任意转动的正方体，则此正方体棱长的最大值是（ ） A. B. 8 C. 9 D. 16. 设且，n为正整数，集合．有以下两个命题：①对任意a，存在n，使得集合S中至少有2个元素；②若存在两个n，使得S中只有1个元素，则，那么（ ） A. ①是真命题，②是假命题 B. ①是假命题，②是真命题 C. ①、②都是假命题 D. ①、②都是真命题 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 17. 已知等差数列与等比数列满足，． （1）求数列和的通项公式； （2）若数列的各项均为正数，记数列的前n项和为，数列的前n项和为，比较与的大小． 18. 如图，在直三棱柱中，已知，，． （1）求四棱锥的体积； （2）求直线与平面所成的角的大小． 19. 设函数的最大值为M，最小正周期为T． （1）若函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求的单调减区间； （2）设集合，求集合A中所有元素的和． 20. 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． （1）求椭圆E的离心率； （2）设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； （3）设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 21. 已知，函数． （1）若k，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数在区间上是严格减函数，求实数k的最大值： （3）设，数列满足：，，且当时，若对一切正整数n成立，求实数m的取值范围． 2023学年第一学期期中考试试卷 高三数学 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】280 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】## 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】## 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 二、选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分） 【13题答案】 【答案】B 【14题答案】 【答案】C 【15题答案】 【答案】B 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分） 【17题答案】 【答案】（1），或 （2）答案见解析 【18题答案】 【答案】（1） （2） 【19题答案】 【答案】19. 20. 【20题答案】 【答案】20 21. 22. 证明见解析，定值为 【21题答