第27章 相似知识点整理及练习 2023-2024学年人教版九年级数学下册

相似全章知识点整理及练习 【知识链接】 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 合比性质：若，则或（a+b，c+d均不为0）． 分比性质：若，则或（a–b，c–d均不为0） 更比性质：若，则或（a，b，c，d均不为0）． 等比性质：若，则． 4.相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 5.相似三角形 三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF． 6.平行线分线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 7.相似三角形的判定定理 ①判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． ③判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． ④判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． 直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 8.相似三角形的常见图形及其变换 9.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比； 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 11.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 12.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 【典型例题】 类型一、比例和比例线段 1、下列线段（单位：cm）成比例的是 A．1，2，3，4 B．5，6，7，8 C．1，2，2，4 D．3，5，6，9 2、若，则下列各式正确的是． A． B． C． D． 3. 求证：如果，那么.　　　 4.如果，那么的值是（　　） A. B. C. D. 类型二、相似图形 1.下列四组图形中，不是相似图形的是（ ） A． B． C． D． 2. 如果两个四边形的对应边成比例，能不能得出这两个四边形相似？为什么？ 　　　　　　　　　　　 3. 下面的四个图案是空心的矩形，正方形，等边三角形，不等边三角形，其中每个图案的边的宽度都相等，那么每个图案中边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） 4、下列各组图形一定相似的是 A．各有一角是70°的两个等腰三角形 B．任意两个等边三角形 C．任意两个矩形 D．任意两个菱形 类型三、相似多边形 1、下列说法正确的是 A．对应边成比例的多边形都相似 B．四个角对应相等的梯形都相似 C．有一个角相等的两个菱形相似 D．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似 2.一个矩形ABCD的较短边长为2． （1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长； （2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积． 类型四、相似三角形 1. 判断对错： 　　(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 　　(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 　　(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？ 2.下列能够相似的一组三角形为( ). 　　A.所有的直角三角形 　　　　　　B.所有的等腰三角形 　　C.所有的等腰直角三角形 　　　　D.所有的一边和这边上的高相等的三角形 3.给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中，一定相似的有　 　（填序号）． 4.下列说法错误的是（ ）．  　　A．有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似　　B．全等的两个三角形一定相似 　　C．对应角相等的两个多边形相似 　　  D．两条邻边对应成比例的两个矩形相似 类型五、平行线分线段成比例 1．如图，l1∥l2∥l3，根据“平行线分线段成比例定理”，下列比例式中正确的是（ ） A. B.