椭圆压轴小题的综合分析 讲义——2024届高三数学一轮复习

椭圆的综合分析（压轴小题） 【题型概述】椭圆类小题是通过题干中的相关条件结合椭圆的性质来求解问题。此类题型在选择题和填空题中涉及到多方面的知识点，难度较高，属于压轴的难题。 例1、（圆锥曲线的定义应用）已知椭圆内有一点M，F2是椭圆的右焦点，点P为椭圆上一动点，则的最大值为 . 【答案】 【解答】由于，我们先进行一次代换，即 则 在△PMF1中，根据三角形的两边之差小于第三边，有 当P、M、F1三点共线，且P点位于M点下方时，等号成立 因此，故答案为： 变式训练.1、已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A，当△APF的周长最大时，△APF的面积为 . 【答案】 【解答】△APF的周长=，其中的AF是定值，即求PA+PF的最大值 这里我们要用椭圆的第一定义进行转换，即 则，当三点共线，且P位于下方时，取得最大值 这时需要写出直线的方程，解出P点的纵坐标 直线为：，与椭圆联立，消去x得：，解得P点纵坐标为 △APF的面积为： 2、设椭圆C：的左、右焦点F1、F2，其焦距为2c，点Q在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【解答】恒成立，即为求的最大值 当P、Q、F2三点共线，且P点位于F2下方时，等号成立 则，解得 同时，由于Q在椭圆的内部，代入椭圆内，则 （也可通过通径，即），解得 综上，离心率的取值范围是： 3、已知点，P为椭圆C：上的动点，B是圆C：上的动点，则的最大值为（ ） A、 B、 C、3 D、 【答案】D 【解答】在△PBF2中，由两边之和大于第三边，则 当P、B、F2三点共线，且P位于F2上方时，等号成立 由椭圆的定义， 则 在△PAF1中，由两边之和大于第三边，则 当P、A、F1三点共线，且P点位于A、F1之间时，等号成立 因此：，故选D 例2、（利用参数方程求解椭圆类型题）若点P为椭圆上一点，则点P到直线的最大值为 . 【答案】 【解答】我们知道，在圆中，圆上一点到直线距离的最大值等于圆心到直线的 距离+半径，但在椭圆中，却没有类似的几何关系，因此我们只能采用代数计算的方法 不难想到，当P点到直线距离最大时，椭圆在P点的切线与直线平行， 因此我们需要求出此时的切线方程。 这里有两种思路： 法1：设直线，当其与椭圆相切（求出来有两条直线）时，其切点所在的位置到原直线的距离分别为最大值或最小值。把直线与椭圆联立，通过△=0即可解出c的值（解出c应有两个值），在这里就不作运算。 法2：可采用参数方程，设P坐标为，则P到直线的距离为，故最大值为 变式训练. 1、已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且 ，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为 。 【答案】 【解答】设直线方程为：，与椭圆联立得： ，则， 由弦长公式，，解得 △ABC面积的最大时，即为C到AB的距离最大时， 不妨取此时b=2，AB直线方程为：，设C为 则C到直线AB的距离为： 当时，d取最大值为4，则△ABC面积的最大值为 2、已知点P在圆C：上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于 ，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F，则的最大值等于 。 【答案】 【解答】最大值为Q到圆心C之间的距离+半径，即QC的最大值为4 C是椭圆外一定点，Q为椭圆上动点，采用参数方程计算：设Q， 则 令， 发现，当时，；而当时，，恰好取得最大值 因此该二次函数的对称轴应在-1的左边，即，解得 则 当离心率为最大值时，，椭圆方程为，设左焦点为 3、已知以F1，F2为左右焦点的椭圆的左顶点为A，上顶点为B，点M，N是椭圆上任意两点，若△MAB的面积最大值为，则的最大值为　　． 【答案】 【解答】由题意有A（﹣a，0），B（0，1），则 ，直线AB为； △MAB的面积最大时，即M到直线AB的距离最大，设M为 M到AB距离为 当时，d最大值为 ∴面积的最大值为 ，得a＝4 设|NF1|＝m，|NF2|＝n，则 m+n＝2a=8； 则＝＝＝ ， 当且仅当时取等号；故答案为 例3、（椭圆的离心率问题）已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N， 右焦点为F，若·＝0，则椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】(1)由题意知，M(－a,0)，N(0，b)，F(c，0)，所以＝(－a，－b)， ＝(c，－b)。因为·＝0，所以－ac＋b2＝0，即b2＝ac。又知b2＝a2－c2，所以a2－c2＝ac，所以e2＋e－1＝0，解得e＝或e＝(舍)。所以椭圆的离心率为。故选D。 变式训