专题05 三角函数（5大易错点分析+解题模板+举一反三+易错题通关）-备战2024年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题05 三角函数 易错点一：三角函数值正负判断不清导致错误（任意角、弧度制及任意角的三角函数） 1．角的概念 （1）任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角． （2）所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是． （3）象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． （4）象限角的集合表示方法： 2．弧度制 （1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0． （2）角度制和弧度制的互化：，，． （3）扇形的弧长公式：，扇形的面积公式：． 3．任意角的三角函数 （1）定义：任意角的终边与单位圆交于点时，则，，． （2）推广：三角函数坐标法定义中，若取点P是角终边上异于顶点的任一点，设点到原点的距离为，则，， 三角函数的性质如下表： 三角函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 ＋ ＋ － － ＋ － － ＋ ＋ － ＋ － 记忆口诀：三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 4．三角函数线 如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A（1，0）作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T． 三角函数线 有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线 易错提醒：（1）利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数赋值来求得所需的角． （2）确定的终边位置的方法 先写出或的范围，然后根据的可能取值确定或的终边所在位置． （3）利用三角函数的定义，已知角终边上一点的坐标可求的三角函数值；已知角的三角函数值，也可以求出角终边的位置． （4）判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 例 如图，已知两质点A，B同时从点P出发，绕单位圆逆时针做匀速圆周运动，质点A，B运动的角速度分别为3rad/s和5rad/s，设两质点运动时这两质点间的距离为．    (1)求的解析式； (2)求这两质点从点P出发后第n次相遇的时间（单位：s）． 变式1．如图，在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，. (1)求的值； (2)射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，点与关于轴对称，求的值. 变式2．角α的终边与单位圆交于点，分别写出点P关于x轴、y轴和原点对称的点的坐标，并求角，，，的正弦函数值、余弦函数值． 变式3．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，设.    (1)若，求线段的长； (2)已知当时，矩形的面积最大.求圆心角的大小，并求此时矩形面积的最大值是多少？ 1．已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，则（    ） A．2 B． C．或2 D． 2．在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边在x轴的正半轴上，终边过点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系xOy中，若角以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边，且终边过点，则取最小值时x的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4．已知是第三象限角，则点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知角终边上有一点，则为（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 6．已知角，终边上有一点，则（    ） A．2 B． C． D． 7．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两个点，，且，则（    ） A． B． C．或 D．或 8．已知角的终边落在直线上，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 9．已知角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则与是终边相同的角 B．若角的终边过点，则 C．若扇形的周长为3，半径为1，则其圆心角的大小为1弧度 D．若，则角的终边在第一象限或第三象限 11．如图所示，角的终边与单位圆交于点，将绕原点按逆时针方向旋转后与圆交于点.    (1)求； (2)若的内角，，所对的边分别为，，，，，，求. 易错点二：诱