专题1-5 正方形基本型·母题溯源-备考2024年中考数学—模型·方法·技巧专题突破（全国通用）

专题1-5 正方形基本型（母题溯源） 模型解读 2 【模型一】中点+折叠 2 【模型二】双中点（十字架模型拓展） 4 【模型三】对角线模型 12 【模型四】半角模型 12 题型一 中点+折叠模型 16 题型二 双中点模型（十字架拓展） 20 2023·东营·中考真题 20 2203·绥化·中考真题 23 题型三 对角线模型 28 2023·攀枝花·中考真题 35 2023·四川宜宾·统考中考真题 37 题型四 半角模型（七个性质） 38 2023·重庆·中考真题 38 2023·眉山·中考真题 39 2022达州·中考真题 41 模型解读 【模型一】中点+折叠 性质一：；性质二：F，G为中点；性质三：;性质四：； 性质五：；性质六： 性质一证明： 性质二证明：G是BC中点 性质三，四证明：HL全等 性质五证明：勾股，或“12345”模型 【12345模型说明】易知， ，故，记 性质六证明：12345模型 【模型二】双中点（十字架模型拓展） (1)知2推1：①M中点；②N是中点；③AM⊥DN (2)已知：M是中点，N是中点，连接CE并延长，交AD于F ① 求_________ 2 证明：EC平分∠NEM 3 求 【解析】 1 证明：法一：角平分线逆定理 法二：旋转相似（手拉手模型） 法三：四点共圆 2 法一：角平分线定理 法二：12345模型（正切和角公式） （3）已知：M，N是中点，O是中心，连接OE，①求DE:EG:GN ;②证∠OEC=90° 【解析】第一问 【解析】第二问 法一：由（2）可知∠NEC=45°，故构造手拉手模型可得△黄≌△黄(SAS)，从而可得∠NEO=45°，得证 或者换个方向也可以， 像这种方方正正的图形也可以试试建系 法二：四点共圆 法三：补成玄图 易知∠OEG=45° （4）已知：M，N是中点,连接BE，证BE=CD 【解析】法一 斜边上的中线等于斜边一般 法二：过AD的中点P作AE垂线，交AM于Q，可得Q是AE中点，则BQ垂直平分AE，故AB=BE 法三：对角互补得四点共圆，导角得等腰 法四：勾股定理，由（2）可知DE：NE=2:3，设值求值即可 （5）已知：M，N是中点,连接BE，AH⊥BE于H，交DN于K，证AK=CD 【解析】法一：构造玄图导等腰 法二：四点共圆 法三：建系求坐标（略） 【模型三】对角线模型 【模型四】半角模型 如图，已知ABCD为正方形，∠FAE=45°，对角线BD交AE于M，交AF与N，AG⊥EF 5个条件知1推4 1 ∠EAF=45° 2 3 ，AG=AB 4 AE平分∠BEF 5 AF平分∠DFE 【性质一】5个条件知1推4（全等） 【性质二】（勾股证） 【性质三】∠MGN=90° 【性质四】；；（2组子母，1共享型相似） 【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形（反8字相似或四点共圆） 【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为（用全等导角） 【性质七】（旋转相似） 【性质一】DF＋BE＝EF 易证△ABE≌△AGE，易证△AGF≌△ADF 【性质二】简证，如图 【性质三】∠MGN=90°简证，如图：两组全等 【性质四】；；（2组子母，1共享型相似） 简证③，如图 SABCD＝BN·DM（共享型相似） ∠1=45°+∠2=∠BAN⇒△BAN∽△DMA⇒BN•DM=AB•AD 【性质五】△ANE，△AMF，是2个隐藏的等腰直角三角形 简证，以△ANE为例，△AMF方法相同 法一：两次相似△AMN∽△BME⇒△BMA∽△EMN∠ABM=∠NEM=45° 法二：ABEN四点共圆，对角互补∠ABE+∠ANE=180°或∠ABN=∠AEN 【性质六】△AMN∽△AFE，且相似比为 先证相似，易知∠1=∠2=∠3，故相似成立 相似比为： 【性质七】 1  2  题型一 中点+折叠模型 1．如图，在边长4的正方形中，是边的中点，将沿直线折叠后，点落在点处，再将其打开、展平，得折痕．连接、、，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：四边形 是正方形， ，， 是边的中点， ， 将沿直线折叠得到， ，，，， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ，故③错误； 过作于， ， 设，则， ， ， 解得：，（舍去）， ， ，故④正确； 2．如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接，，给出以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：如图，由折叠