专题06 双曲线十三个重难点归类-2023-2024学年高二数学上学期期中期末重难点归类及真题训练（人教A版2019）

专题06双曲线十三个重难点归类 一、双曲线的定义和标准方程 1．双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距． （2）符号语言：. （3）当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支； 当时，轨迹为分别以为端点的两条射线； 当时，动点轨迹不存在． 2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式： （1）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图1所示； （2）焦点在轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为焦距为，且，如图2所示． 图1 图2 注：双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有． 3．必记结论 （1）焦点到渐近线的距离为. （2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为． （3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或． （4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为 ． （5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为． （6）与椭圆有共同焦点的双曲线方程可设为． 二、双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点，右焦点 下焦点，上焦点 顶点 轴 线段是双曲线的实轴，线段是双曲线的虚轴； 实轴长，虚轴长 渐近线 离心率 2．等轴双曲线的概念和性质 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质： （1）方程形式为； （2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角； （3）实轴长和虚轴长都等于，离心率． 三、直线与双曲线的位置关系 一般地,设直线方程为,双曲线方程为,将代入,消去y并化简,得. ①当,即时,直线与渐近线平行,则直线与双曲线只有一个公共点； ②当,即时, 判别式直线与双曲线相交,有两个公共点； 判别式直线与双曲线相切,有且只有一个公共点； 判别式直线与双曲线相离,没有公共点． 【重难点一 双曲线的定义】 例1．平面内到两定点、的距离之差等于10的点的轨迹为（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．以上选项都不对 例2．与圆：及圆：都外切的圆的圆心在（    ） A．椭圆上 B．双曲线的一支上 C．抛物线上 D．圆上 双曲线定义中，距离的差要加绝对值，否则只有双曲线的一支，若分别表示双曲线的左、右焦点，则有以下两种情形： ①若点满足，则点在左支上； ②若点满足，则点在右支上. 【跟踪练习】 练习1．已知点，，则在平面内满足下列条件的动点P的轨迹为双曲线的是（    ） A． B． C． D． 练习2．已知动点满足，则动点P的轨迹是（　　） A．双曲线 B．双曲线左支 C．双曲线右支 D．一条射线 练习3．（多选）已知平面直角坐标系中，点、，点为平面内一动点，且，则下列说法准确的是（   ） A．当时，点的轨迹为一直线 B．当时，点的轨迹为一射线 C．当时，点的轨迹不存在 D．当时，点的轨迹是双曲线 练习4．已知动圆C与圆外切，与圆内切，则动圆圆心C的轨迹方程为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．双曲线一支 【重难点二 求双曲线的标准方程】 例3．以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 例4．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 求双曲线的标准方程的常用方法 （1）定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程． （2）用待定系数法求双曲线方程的一般步骤: ①定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能； ②设方程：根据焦点位置,设方程为或,焦点不定时,亦可设为； ③寻关系：根据已知条件列出关于的方程组 ④得方程：解方程组，将代入所设方程 【跟踪练习】 练习1．已知圆，圆，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为 ． 练习2．与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 练习3．已知某双曲线的渐近线方程为，且该双曲线过点，则该双曲线的标准方程为 ． 练习4．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 【重难点三 根据双曲线的方程求参数】 例5．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 例6．（多选）若方程所表示的曲线为，则（    ） A．曲线可能是圆 B．若，则为椭圆 C．若为椭圆，且焦点在轴上，