重难点专题37 圆锥曲线定值问题十三大题型汇总-【划重点】备战2024年高考数学重难点题型突破（新高考通用）

重难点专题37圆锥曲线定值问题十三大题型汇总 题型1线段长度定值问题 1 题型2周长定值问题 3 题型3面积定值问题 5 题型4向量积定值问题 6 题型5角度定值问题 8 题型6运算关系定值问题 9 ◆类型1和关系 10 ◆类型2差关系 11 ◆类型3积关系 11 ◆类型4商关系 12 ◆类型5平方关系 13 题型7坐标相关定值问题 14 题型8参数相关定值问题 16 题型9斜率定值问题 18 题型10斜率和定值问题 19 题型11斜率差定值问题 21 题型12斜率积定值问题 22 题型13斜率比定值问题 24 题型1线段长度定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入参数，利用距离公式或弦长公式得到长度解析式，再对解析式化简，得出结果为定值 【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆C：的左焦点为，点在C上. (1)求椭圆C的标准方程. (2)过F的两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，若线段AB，PQ的中点分别为M，N，且过F作直线MN的垂线，垂足为D，证明：存在定点H，使得为定值. 【变式1-1】1. （2023上·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知抛物线过点，直线l与该抛物线C相交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线． (1)求抛物线C的方程； (2)若过点作，垂足为H（不与点Q重合），是否存在定点T，使得为定值？若存在，求出该定点和该定值；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】2. （2023下·广东深圳·高二深圳外国语学校校考阶段练习）已知点在双曲线上． (1)点，为的左右顶点，为双曲线上异于，的点，求的值； (2)点，在上，且，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【变式1-1】3. （2023·云南曲靖·校考三模）双曲线的左顶点为，焦距为4，过右焦点作垂直于实轴的直线交于两点，且是直角三角形. (1)求双曲线的方程； (2)已知是上不同的两点，中点的横坐标为2，且的中垂线为直线，是否存在半径为1的定圆，使得被圆截得的弦长为定值，若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由. 【变式1-1】4. （2023下·甘肃白银·高二统考开学考试）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，，且． (1)求双曲线的方程． (2)已知点，两个不重合的动点，在双曲线上，直线，分别与轴交于点，，点在直线上，且，试问是否存在定点，使得为定值？若是，求出点的坐标和；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】5.（2023·海南省直辖县级单位·文昌中学校考模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点（M在第一象限），，垂足为，直线交轴于点， (1)求的值. (2)若斜率不为0的直线与抛物线相切，切点为，平行于的直线交抛物线于两点，且，点到直线与到直线的距离之比是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 题型2周长定值问题 【例题2】（2023·云南大理·统考模拟预测）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数． (1)求点的轨迹的方程； (2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值． 【变式2-1】1. （2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）已知P为圆C：上一动点，点，线段PN的垂直平分线交线段PC于点Q． (1)求点Q的轨迹方程； (2)点M在圆上，且M在第一象限，过点M作圆的切线交Q点轨迹于A，B两点，问的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 【变式2-1】2. （2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知椭圆：的左焦点为，左、右顶点分别为，，上顶点为. (1)若为直角三角形，求的离心率； (2)若，，点，是椭圆上不同两点，试判断“”是“，关于轴对称”的什么条件？并说明理由； (3)若，，点为直线上的动点，直线，分别交椭圆于，两点，试问的周长是否为定值？请说明理由. 【变式2-1】3. （2023·甘肃·统考二模）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点． ①证明：直线CD过椭圆右焦点； ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【变式2-1】4. （2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值. 【变式2-1】5.（2023上·北京密云·高二统考期末）已知椭