重庆市云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考数学试卷

重庆市云阳高级中学校2023-2024学年高二上学期第二次月考(数学) 时间：120分钟 总分:150分 一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1.定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下列方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（ ） A. B. C. D. 2.若 与是两条不同的直线, 则 “”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知椭圆 的离心率为, 则（ ） A.4 B.3 C.1 D. 4.如图, 在三棱柱 中,分别是的中点,, 则（ ） A. B. C. D. 5.设直线 的方程为, 则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 6.点 在圆上运动, 点在直线上运动, 若的最小值是 2,为（ ） A.10 B. C.20 D. 7.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点 是阴影部分 (包括边界) 的动点, 则的最小值为 ( ) A. B. C. D. 8.如图, 已知 是双曲线的左、右焦点,为双曲线上两点, 满足, 且, 则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9.已知 , 则下列命题中正确的是（ ） A.平面内满足 的动点的轨迹为椭圆 B.平面内满足 的动点的轨迹为双曲线的一支 C.平面内满足 的动点的轨迹为抛物线 D.平面内满足 的动点的轨迹为圆 10.已知圆 , 直线. 则（ ） A.当 时，圆上恰有四个点到直线的距离等于 1 B.直线 恒过定点 C.直线 与圆只有一个交点 D.若圆 与圆恰有三条公切线, 则 11.正方体 的棱长为分别为的中点, 则正确的是（ ） A. B.平面 C.点 到平面的距离相等 D.若 为正方形内 (含边界) 一点, 且, 则点的轨迹是线段 12.已知抛物线 的焦点为, 点为抛物线上两个位于第一象限的动点, 且有. 直线与准线分别交于两点, 则下列说法正确的是（ ） A.当 时, B.当 时, C.当 时, D.当 时, 延长交准线于, 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13.已知椭圆 的左、右焦点分别为, 过的直线与分别交于两点, 则的周长为___________. 14已知半径为 1 的圆 关于直线对称, 写出一个符合要求的圆的标准方程___________． 15已知动点 在正方体的对角线(不含端点) 上. 设, 若为钝角, 则实数的值为___________. 16圆形是古代人最早从太阳、阴历十五的月亮得到圆的概念的.一直到两千多年前我国的墨子（约公元前468-前376年）才给圆下了一个定义：圆，一中同长也．意思是说：圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．现在以点 为圆心, 2 为半径的圆上取任意一点, 若的取值与无关, 则实数的取值范围是___________. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）已知离心率为 的双曲线与椭圆的焦点相同. (1) 求双曲线 的标准方程; (2) 求双曲线 的焦点到渐近线的距离. 18. （本题满分12分）如图在边长是 2 的正方体 中,分别为的中点. (1) 求异面直线 与所成角的大小. (2) 证明: 平面. 19. （本题满分12分）如图, 已知一艘海监船 上配有雷达, 其监测范围是半径为的圆形区域, 一艘外籍轮船从位于海监船正东的处出发, 径直驶向位于海监船正北的处岛屿, 速度为. (1) 求外籍船航行路径所在的直线方程； (2) 这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？ 20. （本题满分12分）已知 为坐标原点,位于抛物线上, 且到抛物线的准线的距离为 2. (1) 求抛物线 的方程; (2) 已知点 , 过抛物线焦点的直线交于两点, 求的最小值以及此时直线的方程. 21. （本题满分12分）如图, 在四棱锥 中, 四边形是矩形,是正三角形, 且平面平面,为棱的中点, 四棱锥的体积为. (1) 若 为棱的中点, 求证:平面; (2) 在棱 上是否存在点, 使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为若存在, 指出点的位置并给以证明; 若不存在, 请说明理由. 22. （本题满分12分）