重难点09圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点09圆锥曲线中的弦长与面积问题（2种考法） 【目录】 考法1：弦长问题 考法2：面积问题 二、命题规律与备考策略 一、圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|＝|x1－x2| ＝· ＝·|y1－y2|＝·. 二、三角形面积问题 直线方程： 三、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 四、平行四边形的面积 直线为，直线为 注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数. 三、题型方法 考法1：弦长问题 1．（2023下·上海静安·高二校考期中）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点,，记点的坐标为． (1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求； (2)若斜率，求的面积； (3)若是等腰三角形且，求实数． 2．（2023下·上海宝山·高二统考期末）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线，已知动点到点的距离等于点到直线的距离，设点的轨迹为. (1)过点且斜率为2的直线与曲线交于两个不同的点、，求线段的长； (2)求曲线上的点到直线的最短距离. 3．（2023下·上海静安·高二校考期中）已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线l交椭圆于A、B两点，记原点为O． (1)当直线l垂直于x轴时，求弦长； (2)当时，求直线l的方程； (3)是否存在位于x轴上的定点使得始终为一个定值．若存在，请求出m；不存在，则请说明理由？ 4．（2023下·上海长宁·高二校考期中）已知椭圆经过点，其左焦点为；过F点的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴的正半轴于点M；    (1)求椭圆E的方程； (2)若直线l过点F且斜率存在，设斜率为k，求弦长关于k的函数解析式； (3)过点F且与l垂直的直线交椭圆于C，D两点，若四边形的面积为，求直线l的方程； 5．（2022上·上海徐汇·高三位育中学校考期中）已知椭圆，为椭圆的右焦点，过点的直线交椭圆于、两点． (1)若直线垂直于轴，求椭圆的弦的长度； (2)设点，当时，求点的坐标； (3)设点，记、的斜率分别为和，试探讨是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出的取值范围． 6．（2023上·上海虹口·高三上海财经大学附属北郊高级中学校考期中）已知椭圆E的方程为，与是E的左右两个焦点，是E的下顶点． (1)设斜率为1的直线l过点，且与E交于M，N两点，求弦的长； (2)若E上一点P满足，求三角形的面积； (3)设椭圆上一点，求证：射线平分． 7．（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知为抛物线：的焦点，为坐标原点.过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，与轴交于点. (1)若点在抛物线上，求； (2)若的面积为，求实数的值； (3)是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过曲线上任意一点作圆的两条切线，与曲线交于另外两点，时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由. 考法2：面积问题 1．（2023上·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与椭圆相交于两点，求的面积关于的函数关系式 2．（2023上·上海嘉定·高三上海市育才中学校考期中）已知椭圆Γ方程为，B1、B2分别是椭圆Γ短轴上的上下两个端点，F1是椭圆的左焦点，P是椭圆上异于B1、B2的点，是边长为4的等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)当直线PB1的一个方向向量是（1，1）时，求以PB1为直径的圆的标准方程； (3)点R满足：，，试问：与的面积之比是否为定值？并说明理由． 3．（2023上·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考阶段练习）如图，曲线由两个椭圆：和椭圆：组成，当、、成等比数列时，称曲线为“猫眼曲线”.若猫眼曲线过点，且、、的公比为.    (1)求猫眼曲线的方程； (2)任作斜率为且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆所得弦的中点为，交椭圆所得弦的中点为，直线、直线的斜率分别为、，试问：是否为与无关的定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由； (3)若斜率为的直线为椭圆的切线，且交椭圆于点，，为椭圆上的任意一点（点与点，不重合），求面积的最大值. 4．（2023上·上海浦东新·高二上海市建平中学校考阶段练习）已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点.    (1)如图1所示，已知，求线段中点到轴的距离； (2)设点是线段上的动点，顶点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值； (3)如图2所示，设为抛物线上的一点，过作直线，交抛物线于，两点，过作直线，交抛物线于，两点，且，，设线段与线段的交点为，求直线斜率的取值范围. 5．（2023上·