重难点08空间角与探索性问题（2种考法）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（上海地区专用）

重难点08空间角与探索性问题（2种考法） 【目录】 考法1：空间角问题 考法2：探索性问题 二、命题规律与备考策略 1.求异面直线所成的角的三步曲 2.求直线和平面所成角的关键 作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值。 3.找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面 （4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标； (3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角； (4)结合异面直线所成角的范围求出异面直线所成的角． 5.利用向量法求两平面夹角的步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量； (3)求两个法向量的夹角； (4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角) 6.探求某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法：一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后再根据条件给出证明或计算。 〖关键技巧〗空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法解题。 三、题型方法 考法1：空间角问题 1．（2023·上海青浦·统考二模）如图，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角，，为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值. 2．（2023·上海宝山·统考二模）四棱锥的底面是边长为2的菱形，，对角线AC与BD相交于点O，底面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为60°，E是PB的中点． (1)求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； (2)证明：平面PAD，并求点E到平面PAD的距离． 3．（2023·上海闵行·统考二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，，，点E在线段AB上，且． (1)求证：CE⊥平面PBD； (2)求二面角P－CE－A的余弦值． 4．（2023·上海黄浦·上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱中，，延长至，使. (1)求证：； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 5．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 6．（2023·上海普陀·曹杨二中校考三模）如图，在四棱锥中，正方形的边长为2，平面平面，且，，点分别是线段的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 7．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，. (1)求证：； (2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为. 8．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）如图，直三棱柱内接于圆柱，，平面平面 (1)证明：是圆柱下底面的直径； (2)若为中点，为中点，求平面与平面所成二面角的正弦值. 9．（2023·上海金山·统考一模）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，. (1)求证：直线平面； (2)求直线与平面所成的角的大小. 10．（2023·上海·统考模拟预测）如图，在正三棱柱中，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 11．（2023下·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）如图，为圆O的直径，点在圆O上，，矩形所在平面和圆O所在的平面互相垂直，已知． (1)求证：平面平面； (2)当的长为何值时，二面角的大小为？ 12．（2023·上海杨浦·统考二模）四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. (1)求点到平面的距离； (2)求直线与平面所成的角. 13．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）如图，平面，四边形为直角梯形，.    (1)求异面直线与所成角的大小； (2)求二面角的余弦值. 14．（2017·上海黄浦·统考二模）如图，在直棱柱中，，，分别是的中点． （1）求证：； （2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离． 考法2：探索性问题 1．（2022上·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）如