精品解析：北京市景山学校2023-2024学年高三上学期期中数学试卷

北京景山学校2023—2024学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 下列函数中，在定义域上为增函数且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，.若，则（ ） A. 6 B. C. D. 5. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与圆相交于两点，且，那么实数k取值范围是（　　） A. B. C. 或 D. 9. 已知函数在上单调，且，则的取值不可能为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则以下说法中不正确的是（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面 D. 若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为圆上的一段弧 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11. 函数的定义域是_________． 12. 已知椭圆两个焦点分别为，，点在上，且，则椭圆的离心率为__________. 13. 已知数列的前项和为，且，，则__________；若，则的最小值为__________. 14. 设函数，若的值域为，则的取值范围是__________. 15. 已知直线与相交于点，直线与轴交于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的工线交直线于点，…，这样一直作下去，可得到一系列点，，，，…，记点的横坐标构成数列，给出下列四个结论： ①点； ②数列单调递减； ③； ④数列的前项和满足：. 其中所有正确结论的序号是__________. 三、解答题（共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 16. 已知中，. （1）求大小； （2）若，再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①；条件②；条件③. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数，且. （1）求的值及的最小正周期； （2）若，且，求实数的最大值. 18. 如图，在三棱柱中，平面，是等腰直角三角形，，，，分别是棱，，中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，，焦距为，点在椭圆上. （1）求的方程； （2）过点的任意直线与椭圆交于，（不同于，）两点，直线的斜率为，直线的斜率为.试问是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围. 21. 已知是无穷数列，，，且对于中任意两项，，在中都存在一项，使得. （1）若，，求； （2）若，求证：数列中有无穷多项为0； （3）若，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京景山学校2023—2024学年度第一学期 高三数学期中考试试卷 注意事项 （1）请用蓝色或黑色圆珠笔、钢笔或签字笔答卷，不得用铅笔或红笔答卷. （2）认真审题，字迹工整，卷面整洁. （3）本试卷共5页，共三道大题，21道小题.考试时间120分钟. （4）请将选择题的答案填涂在机读卡上，其余试题答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效. 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的交运算求结果. 【详解】由题设. 故选：A 2. 若复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则和复数模的计算公式进行求解即可. 【详解】， 所以， 故选：D 3.