专题十二 与圆有关的辅助线作法 2023年九年级中考数学复习

专题十二 与圆有关的辅助线作法 类型一 与圆周角，圆心角有关的辅助线作法 方法1 连半径，构造圆心角 条件：如图①， AB为O的直径，AD，CD为O的弦 辅助线：连接OC 结论：∠ADC=∠AOC 1. 如图，已知AC是O的直径，BC是弦，若∠ACB=30°，AC=4，求劣弧 。 方法2 构造同弧所对的圆周角 条件：如图②，AB为O的直径，AD，CD为O的弦 辅助线：连接BC 结论：∠ABC=∠ADC 2.如图，▲ABC是O的内接三角形，AB=AC,点D为O上一点，且弧BC与弧CD相等 ，若∠ABC=75°，求∠BCD的度数。 方法3 构造圆内接四边形 条件：如图③，AB，AC为O的弦， 点D为劣弧AC上一点 辅助线：连接AD，CD 结论：∠ABC＋∠ADC=180° 3.如图，点A，B，C分别是O上的点，连接OA，OC，AB，BC，若∠AOC=100°，求∠ABC的度数。 方法4 构造特殊三角形 条件：如图④，AB为O的直径，AC为O的弦 辅助线：连接BC 结论：∠ACB=90° 4.如图，已知AB是O的直径，CD是O的弦，连接BC，BD，若∠BCD=24°，求∠ABD的度数。 典例精析 例1 如图，O经过▲ABC的顶点A，C，与BC边相交与点D，连接AD，E为O上一点，连接AE，DE，已知DA为∠BDE的平分线，求证：AC=AE。 针对训练 1. 如图，AB是O的直径，点C，E在O上，连接CE交AB于点F，过点E作O的切线，交AB的延长线于点D，∠D=∠ABC，连接BE，AC。 （1） 求证：∠A=2∠BCE （2） 若BF=2，EF=3,求O的半径。 2. 如图，AB是O的直径，点C为O上一点，D为劣弧BC的中点，连接AD，与BC交于点G，连接OD交BC于点E，其延长线交O的切线BF于点F，连接CD。 （1） 求证：CD²=DG·AD （2） 若O的半径为5，cos∠BCD=，求EG的长 类型二 与垂径定理有关的辅助线作法 方法1 弦与圆的两个交点与圆心相连，构造直角三角形 条件：如图①，AB是O的一条弦，OC⊥AB于点C 辅助线：连接OA，OB 结论：▲OAC，▲OBC为直角三角形 1. 如图，已知AB是O的弦，OC为O的半径，OC⊥AB交AB于点M，且OC=10，AB=16，求cos∠ABC的值。 方法2 过圆心作弦的垂线，构造直角三角形 条件：如图②，AB是O的一条弦，OA，OB 分别是O的半径 辅助线：过圆心O作弦AB的垂线OC 结论：▲OAC，▲OBC为直角三角形，AC=BC 2.如图，已知O的半径为5，弦AB的长为8，C是弦AB延长线上的一点，连接OC，OA，tan∠C=求线段OC的长。 典例精析 例1. 如图，在圆内接四边形ABCD中，AB是O的直径，AB=10，延长DC，AB交于点E，若BE=3，∠E=30°，求CD的长。 针对训练 1. . 如图，线段AB是O的直径，弦CD⊥AB于点H，P是弧CBD上任意一点，已知AH=1，CH=，连接CP，PD (1) 求∠CPD的度数 (2)求▲CDP的最大面积。 类型三 与切线有关的辅助线作法 方法1 添加过切点的半径，构造直角三角形 条件：如图①，PA为O的切线，点A为切点 辅助线：连接OP，OA 结论：▲OPA为直角三角形 1. 如图，AB是O的直径，C是O上一点，过点C作O的切线交AB的延长线于点E，若OA=2，CE=4，求sin∠E的值。 方法2 已知直线与圆的交点，连接半径，证垂直 条件：如图②，直线l与O交于点A 辅助线：连接OA 结论：若OA⊥l，则直线l为O的切线 2. 如图，▲ABC内接于O，AB是O的直径，D是BA延长线上的点，连接CD，已知∠ACD=∠ABC，AB=10，AD=2，求CD的长。 方法3 过圆心作垂线，证半径 条件：如图③，已知O和直线L 辅助线：过圆心作直线L的垂线，垂足为A 结论：若OA是O的半径，则直线l为O的切线 3. 如图，在Rt▲ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，以D为圆心，DC长为半径作D，求证：AB是D的切线。 典例精析 例1 如图，▲ABC的三个顶点均在O上，AC是O的直径，过点B的切线交AC延长线于点D，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E。 （1） 求证：∠A=∠BDE （2） 若点F是弧BC的中点，FG∥BC交AD于点G，求证：FG是O的切线。 针对训练 1. 阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦 • 韦达，法国杰出数学家，在欧洲被尊称为“代数学之父”。他发 现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项。如图，点p是O外一点，PC是O的切线，PA是 O 的一条割线，交O的另一个点为B则PC²=PA•PB: 证明：连接