精品解析：福建省莆田第十中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

莆田十中2023-2024学年高三上学期期中试卷 数学 一、单选题 1. 已知复数z满足，则（     ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 3. “，关于不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 4. 已知则（   ）. A B. C. D. 5. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A. B. C. D. 6. 已知是角的终边上一点，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，B=120°，，A的角平分线，则AC=（　 　）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 2 8. 如图，在等腰直角三角形中，斜边，为线段上的动点（包含端点），为的中点．将线段绕着点旋转得到线段，则的最小值为（　 ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知平面向量满足：，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 平面向量的夹角为 B. 与向量共线单位向量为 C. D. 的最大值为 10. 的内角的对边分别为，则下列说法不正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 已知函数为的两个极值点，且的最小值为，直线为图象的一条对称轴，将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则（    ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 的图象关于点对称 12. 如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A. 为中点时，过三点的平面截正方体所得的截面的周长为 B. 不存在点，使得平面平面 C. 存在点P使得的值为 D. 三棱锥外接球体积最大值为 三、填空题 13. 已知则______． 14. 若，且，则的最小值为_______． 15. 函数的最大值为，最小值为，若，则______． 16. 我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为，小正方形的面积为，若，则的值为______ 四、解答题 17. . （1）求最小正周期和递增区间； （2）当，求的最大值和最小值． 18. 已知的内角的对边分别为，且 . （1）求角C； （2）设在上，且，求的取值范围． 19. 已知函数，. （1）当时，判断函数的单调性； （2）当时，求证：当时，函数有且仅有一个零点. 20. 如图，在三棱台中，若平面，为中点，为棱上一动点（不包含端点）. （1）若为的中点，求证：平面. （2）是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由. 21. 已知函数且. （1）若，求不等式的解集； （2）若存在，使得不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 22. 已知函数. （1）若曲线在点处切线方程为，判断当时函数的单调性； （2）当时，在恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田十中2023-2024学年高三上学期期中试卷 数学 一、单选题 1. 已知复数z满足，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘除法法则进行运算即可. 【详解】因为， 所以， 故选： 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】由， 得， 因为，所以，解得. 故选：B. 3. “，关于的不等式恒成立”的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质，求得命题为真时的范围，结合充分不必要条件的定义，加以判断即可. 【详解】若“，关于的不等式恒成立”为真， 则， 解得， 故此命题的充分不必要条件对应的集合是的真子集， 对照各选项，可知项，，符合题意， 故选：. 4. 已知则（   ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式得到，利用函数的单调性，得到，利用的单调性得到，即可得出结果. 【详解】因为，， 又函数在定义域上单调递增，，所以， 又易知，，，所以，， 故选：C. 5. 设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数、偶函数的性质进行求解即可. 【详解】因为是奇函数， 所以，令， 得，令得，， 又是偶函数， 所以， 令得，，所