四川省雅安市雅安市联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理）试题

2024届高三数学试题（理科） 考生注意： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 2.请将各题答案填写在答题卡上. 3.本试卷主要考试内容：小题（必修1，必修3，必修4，必修5，选修2-1第一章，选修2-2第一章），大题（高考范围）. 第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ） A. B. C. 4 D. 10 4. 某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ） A. 60 B. 80 C. 100 D. 120 5. 执行如图所示的程序框图，输出的（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 已知等比数列满足，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 15 7. 小明准备将新买的《孟子》、《论语》、《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，，，点是的重心，则（ ） A 7 B. 8 C. D. 10. 某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过该设备过滤后排放，以减少对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：）与过滤时间（单位：）的关系为（，是正常数）.若经过过滤后减少了的污染物，在此之后为了使得污染物减少到原来的还需要的时长大约为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 11. 如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于，两点），，，垂足分别为，，，，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为（ ） A. 50平方米 B. 平方米 C. 平方米 D. 平方米 12. 已知数列满足，，若对于任意正整数，都有，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13 已知向量，，若，则______. 14. 若，满足约束条件则最小值为______. 15. 已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为______. 16. 已知函数，若恒成立，则的取值范围是______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：60分. 17. 已知数列的前项和为，且 （1）求通项公式； （2）求数列的前项和 18. 如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，中点，且，，. （1）证明：平面平面， （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 19. 为了促进消费，某商场针对会员客户推出会员积分兑换商品活动：每位会员客户可在价值80元，90元，100元的，，三种商品中选择一种使用积分进行兑换，每10积分可兑换1元.已知参加活动的甲、乙两位客户各有1000积分，且甲兑换，，三种商品的概率分别为，，，乙兑换，，三种商品的概率分别为，，，且他们兑换何种商品相互独立. （1）求甲、乙两人兑换同一种商品的概率； （2）记为两人兑换商品后的积分总余额，求的分布列与期望 20. 已知椭圆：的焦距为，且. （1）求的方程； （2）A是的下顶点，过点的直线与相交于，两点，直线的斜率小于0，的重心为，为坐标原点，求直线斜率的最大值. 21. 已知函数. （1）若曲线在处的切线经过坐标原点，求a的值 （2）若方程恰有2个不同的实数根，求a的取值范围. （二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 在直角坐标系中，圆的方程为. （1）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程； （2）直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率. [选修4-5：不等式选讲] 23. 已知函数. （1）若，求不等式的解集； （2）若的图象与轴围