山西省太原市山西大学附属中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

山西大学附中 2023~2024学年第一学期高二期中考试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：空间向量与立体几何，直线、圆和椭圆的方程 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1. 经过两点的直线的一个方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 3 2. 若圆的半径为2，则实数的值为（ ） A. -9 B. -8 C. 9 D. 8 3. 平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ） A B. C. D. 4. 实数满足，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆E：的右焦点为，过点F的直线交椭圆于A，B两点，若且，则E的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知三角形中，，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，错选得0分，漏选得2分） 9. 圆：与圆：，则下列说法正确的是（ ） A. 两圆公共弦所在的直线方程为 B. 两圆的位置关系为外切 C. 公共弦长为 D. 两圆有四条公切线 10. 下列结论不正确的是（ ）． A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 直线恒过定点 C. 直线与直线之间的距离是 D. 已知，，点P在x轴上，则最小值是5 11. （多选）已知椭圆左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则（ ） A. 椭圆的短轴长为 B. 当最大时， C. 离心率为 D. 的最小值为3 12. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过椭圆C上一点P和原点O作直线l交圆O：于M，N两点，下列结论正确的是（ ） A. 实数a越小，椭圆C越圆 B. 若，且，则 C. 当时，过的直线交C于A，B两点（点A在x轴的上方）且，则的斜率 D. 若，则 三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分） 13. 已知，，且，则等于______. 14. 写出过点且与圆相切的直线方程______. 15. 在平面直角坐标系中，若圆上任意一点关于原点对称点都不在圆上，则的取值范围为______． 16. 已知椭圆的两个焦点为．点为上关于坐标原点对称的两点，且，的面积，则的离心率的取值范围为______． 四、解答题（共6小题，满分70分，17题10分，18-22题每题12分） 17. 在中，，，． （1）求边的高线的方程； （2）过点A的直线l与直线的交点为D，若，求D的坐标． 18. 已知椭圆C：过，． （1）求椭圆C方程； （2）倾斜角为的直线l交椭圆于A，B两点，已知，求直线l的一般式方程． 19. 已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 20. 已知为椭圆C：上一点，点P与椭圆C的两个焦点构成的三角形面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）不经过点P的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若直线PA与PB斜率的乘积为－1，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标． 21. 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段AC，的中点，在平面ABC内的射影为D． （1）求证：平面BDE； （2）若点F为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围． 22. 已知椭圆C：，左、右顶点分别为． （1）设直线l：与x轴交于点D，P点是椭圆C异于的动点，直线，分别交直线l于E，F两点，求证：为定值． （2）如图，原点O到：距离为1，直线与椭圆C交于A，B两点，直线：与平行且与椭圆C相切于点M（O，M位于直线的两侧）．记，的面积分别为，若，求实数的取值范围． 山西大学附中 2023~2024学年第一学期高二期中考试 数学试题 考查时间：120分钟 满分：150分 考查内容：空间向量与立体几何，直线、圆和椭圆的方程 一、单选题（共8小题，满分40分，每小题5分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】D 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分，错选得0分，漏选得2分） 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】