空间中的距离问题题型归纳 题型专项训练-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

空间中的距离问题题型归纳（解析） 题型：点到平面的距离 1、在空间直角坐标系中，已知点，，，则点到平面的距离为 ． 2、在棱长为2的正方体中，点是的中点，点是中点．(1)证明：平面；(2)求到面的距离．    3、如图，四棱台中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，上、下底面中心的连线NM垂直于上、下底面，且NM与侧面所成角的正切值为．(1)求点A到平面的距离；(2)求二面角的余弦值． 4、如图,在四棱锥中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,,E为线段PB的中点,F为线段BC的中点．(1)证明:平面PBC;(2)求点P到平面AEF的距离． 5、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，.（1）证明：平面平面；（2）若点为线段的中点，求到平面的距离. 6、在三棱锥中，，，M为棱BC的中点. (1)证明：；(2)若平面平面ABC，，，E为线段PC上一点，，求点E到平面PAM的距离. 7、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．(1)证明：平面平面PBC；(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为，求点P到平面AEF的距离． 8、如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，D，E分别是线段，的中点，在平面内的射影为D．(1)求证：平面；(2)若点F为棱的中点，求点F到平面的距离．    9、如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）．请建立适当的空间直角坐标系，解答下列问题：(1)若点为棱的中点，求点到平面的距离；(2)求锐二面角的余弦值的取值范围．    10、如图，在四棱锥中，平面面，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离. 11、如图，在四棱柱中，四棱锥是正四棱锥，.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)若四棱柱的体积为16，点在棱上，且，求点到平面的距离.    题型：直线到平面的距离 1、如图，在正方体中，为的中点.(1)求直线到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值. 题型：平行平面间的距离 1、如图，正方体的顶点坐标为，，，，求平面与平面之间的距离．    2、如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求：(1)直线与平面的距离；(2)平面与平面的距离． 3、直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．      4、如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．(1)求证：平面平面EFG；(2)求平面与平面EFG间的距离． 5、如图，在四棱锥O−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别为OA，BC，AD的中点，求直线MN与平面OCD的距离及平面MNR与平面OCD的距离. 题型：点到直线的距离 1、已知直线过点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 2、已知点，则点到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 3、已知过坐标原点的直线l的方向向量，则点到直线l的距离是 A．2 B． C． D． 4、已知向量与直线垂直，且直线经过点，则点到直线的距离为 . 题型：异面直线间的距离 1、定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 2、如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 3、正方体棱长为2，N是棱AD的中点，M是棱的中点，则直线BM与之间的距离为 . 4、如图，在底面是菱形的四棱锥P­ABCD中，∠ABC＝60°，PA＝AB＝a，PB＝PD＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，求异面直线PB与CE的距离. 5、如图，已知正方体的棱长为1，MN是异面直线AC与的公垂线段，试确定点M在AC上及点N在上的位置，并求异面直线AC与间的距离． 题型：距离的最值问题 1、如图，已知正四棱锥的所有棱长均为1，E为PC的中点，则线段PA上的动点M到直线BE的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型：距离的综合问题 1、（多选）在空间直角坐标系中，，，，则（    ） A．直线OB与平面A