指数幂运算有奇招&指数、对数和幂的比较大小问题-《中学生数理化》高一数学2023年11月刊

■黄海英 指数幂是研究指数函数的前提,掌握了 指数幂的运算方法和技巧是进一步学习指数 函数的基础,那么怎样才能提高指数幂的运 算技巧呢? 一、平方与配方 指数运算与根式运算,从本质上看都是 实数运算,因此它们的运算离不开实数运算 公式,尤其是完全平方公式的灵活运用。 例1 已知 m + 1 m =4,求下列各式 的值:(1)m+m-1。(2)m2+m-2。(3)m3+ m-3。 解:(1)由 m+ 1 m 2 =m+ 1 m+2= 16,可得m+ 1 m=14 。 (2)由 m+ 1 m 2 =196,可得 m2+ 1 m2 + 2=196,所以m2+ 1 m2 =194。 (3)易得 m3+m-3=(m+m-1)(m2+ m-2-1)=14×193=2702。 二、转化为指数幂的形式 指数式与根式是可以互相转化的,将根 式转化为指数幂的形式,能更好地利用指数 幂的运算公式,使运算更有效。 例2 (1)计算:733-3 324-6 31 9+ 4 333。 (2 ) 化 简: 3 a 7 2 a-3 ÷ 3 a-8· 3 a15 ÷ 3 a-3· a-1 。 解:(1)733-3 324-6 31 9+ 4 333= 7×3 1 3-3×(3×23) 1 3-6×3 -23+3 1 4×3 1 12= 7×3 1 3-6×3 1 3-2×3 1 3+3 1 3=0。 (2) 3 a 7 2 a-3 ÷ 3 a-8· 3 a15 ÷ 3 a-3· a-1 = 3 a 7 2a -32 ÷ a -83a 15 3 ÷ 3 a -32a -12 = 3 a2 ÷ a 7 3 ÷ 3 a-2 =a 2 3 ÷ a 7 3 1 2÷(a-2) 1 3=a 2 3÷a 7 6÷a -23=a 2 3- 7 6÷ a -23=a -12+ 2 3=a 1 6=6a。 三、整体代换 在指数幂运算中,有时在条件中会出现 多个字母的轮换式,这时可利用整体代换,使 得解题最有效、简捷。 例3 已知x+y=12,xy=9,且x<y, 求 x 1 2-y 1 2 x 1 2+y 1 2 的值。 解:x 1 2-y 1 2 x 1 2+y 1 2 = x 1 2-y 1 2 2 x 1 2+y 1 2 x 1 2-y 1 2 = (x+y)-2(xy) 1 2 x-y 。由x+y=12,xy=9,且 x<y,可 得 x -y = - (x-y)2 = - (x+y)2-4xy= - 122-4×9 = -63。所以 x 1 2-y 1 2 x 1 2+y 1 2 = 12-2×9 1 2 -63 =- 3 3 。 四、巧用“1”的变形 在数学解题中,“1”是一个万变高手,在 指数幂运算中,它可转化为两个互为倒数的 数的积,从而为利用有关运算公式创造条件。 例4 计算: 1-a-1 a 1 2-a -12 - 1+a -12 1+a 1 2 (a>0)。 解:原式= a-1(a-1) a -12(a-1) - a -12 a 1 2+1 1+a 1 2 = a -1- -12 -a -12=0。 作者单位:江苏省太仓市明德高级中学 (责任编辑 郭正华) 3 知识结构与拓展 高一数学 2023年11月 ■朱 梅 指数、对数和幂的代数式的比较大小问 题,是高考中的常考点,高考主要以选择题的 形式出现,考查指数、对数、幂的基本运算,以 及相关的基本初等函数的图像与性质的应用。 一、单调性法 例1 已知a=log3 1 2 ,b=lnπ,c=ba, 则a,b,c的大小关系是( )。 A.b>c>a B.b>a>c C.c>b>a D.c>a>b 分析:根据题设条件,利用对数函数的单 调性进行放缩处理,分别确定参数a,b的取 值范围,在此基础上确定参数c的取值范围, 从而得到a,b,c的大小关系。 解:因为-1=log3 1 3<log3 1 2<log31= 0,所以-1<a<0。因为lnπ>lne=1,所以 b>1。又0<ba<b0=1,所以0<c<1。 综上分析,可得b>c>a。应选A。 利用 指 数 函 数、对 数 函 数,以及幂函数的单调性比较 代数式的大小,首先要观察代数式形式的异 同,底数相同时,可考虑指数函数的单调性, 指数相同时,可考虑幂函数的单调性,当都不 相同时,可分析代数式的大致范围,进行比较 大小。比较代数式的大小的两个思路:一是 判断出各个数值所在的区间(一般是三个区 间(-∞,0),(0,1),(1,+∞)),二是利用函 数的单调性比较大小。 二、媒介法 例2 若a=log23,b=log34,c=log45, 则a,b,c的大小关系是(